Test de Mathématiques de niveau Première

Tpautrel

Description

Interrogation géométrie spatiale
Test en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

Mathématiques

Interrogation: géométrie dans l'espace (1h30)

1ère S

Exercice 1:(4 points) ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs des segments [BD] et [CD]. E est le barycentre de (A;-2) , (B;3) et F celui de (A;-2) , (C;3). 1. Démontrerque les points E, F, I et J sont coplanaires. 2. Ladroite (AD) coupe le plan (EFI) en K. a) Démontrer que les points E, I et K sont alignés, tout comme les points F, J et K. 3 AK=AD b) Démontrer que. 5

Exercice 2:(8 points) k∈[−1;1] k∈ℝ A, B et C sont trois points de l'espace non alignés et, . G A ; k²1,B ; k C ;−k On note k et .le barycentre des points pondérés G G 1. Représenterles points A, B et C, le milieu I de [BC] et construire 1 et 1 . − −k = k∈[−1;1] AG k BC 2. a)Montrer que, pour tout réel, on a. k²1 −x  = f [−1;1] f x b) Établir le tableau de variations de la fonctiondéfinie surpar 2 . x1 G k c)En déduire l'ensemble des points k IR.quand décrit  ∥2MAMB−MC∥=∥2MA−MBMC∥ 3. Déterminerl'ensemble 1 des points M de l'espace tel que. 4. Mêmequestion pour  : ∥2MAMB−MC∥=∥2MA−MB−MC∥ . 2      5. L'espaceest rapporté à un repère orthonormal O ; i ;j ; k . Soient les points A(0;0;2), B(-1;2;1) et  C(-1;2;5). Les points G k est les ensembles 1 et  sont définis comme ci-dessus. 2 G G  a) Calculer les coordonnées de 1 et −1 . Montrer que 1 et  sont sécants. 2 b) Calculer le rayon du cercle C d'intersection .

Exercice 3:(8 points) SABC est un tétraèdre. La droite (SA) est orthogonale au plan (ABC) et le triangle ABC est rectangle en B. 1. a)Démontrer que les droites (BC) et (SA) sont orthogonales. b) Démontrer que le triangle SBC H∈[AB] 2. .On trace par H le pl a) Démontrer que (HI) // (BC). b) En déduire que (HI // (KJ). c)Démontrer que les droites (KH) d)En déduire que les droites (KH) e) Démontrer que HIJK est un rec 3. Onsuppose à présent que AB = 1, = x. a) Démontrer que dans le triangle b) Démontrer que dans le triangl c)Calculer l'aire du rectangle HIJK A(x) cette aire. 4. a)Démontrer que 4x(1 – x) = 1 – ( b) Pour quelle valeur de x l'aire A( Quelle est alors la position du poi alors la nature du quadrilatère HIJ