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Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau BTS

De
25 pages
Fonctions trigonométriques
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2012) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique
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TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS1GO 2010-2011 Exercice 1  Soit la fonctionfde¡vers¡définie comme suit : ìf est paire      ïïíf(t)11%sint pour0σtσ ϑ î période def est périodiqueϑ 1-Représenter graphiquementfsur l'intervalle [%2ϑ; 2ϑ].  Le plan sera muni d'un repère orthogonal (unités graphiques :  2 cm en abscisse, 5 cm en ordonnée). 2-Etudier les variations de la fonctionf. Exercice 2  Un signal est modélisé par la fonctionfdéfinie sur¡par : riodique de période       ïîíïìff(set)t1ptasiirnuoptteepterÎ0;ϑ/ 2ϑ 1. Étudier les variations defsur l'intervalle [0 ;ϑ/2]. 2. SoitC1la partie de la représentation graphique defsur l'intervalle [0 ;ϑ/2],  relativement à un repère orthonormal du plan (unité graphique 2 cm).  Tracer les tangentes àC1aux points d'abscisses 0 etϑ/ 2 . TracerC1. 3. Dans le même repère tracer la représentation graphique C defsur  l'intervalle[% ϑ;ϑ] Exercice 3  Soit la fonction numériquefdéfinie sur¡parf(t)11#cos2tsin2t 1. a . Montrer quefest paire et périodique de période2ϑ  b .Démontrer que la droite d’équation:t12ϑest un axe de symétrie pour  la courbe (C) sur0 ;ϑ. 2. Montrer quef'(t)14 sintcos3t. Rappels : (u´v'1u'v#v'u etw2'12w'w 3. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0 ;ϑet donner le tableau de  variations defsur0 ;ϑ 4. Montrer quef(t)185%2sco12t%c14so8t, puis calculerϑϑ//36f(t)dt Exercice 4  Soit la fonction numériquefdéfinie sur¡parf(t)11ϑ2çèæsint#in33s1t¸øƒ 1. Montrer quefest impaire et périodique de période2ϑ 2. Démontrer que la droite d’équationx1 ϑ2est un axe de symétrie 3. Montrer quef'(t)1s2oc24tcost :. Rappels ϑ (cosp#cosq12 cosæçèp2#qƒ¸øcosæçèp2%qƒ¸ø) 4. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0;ϑet  donner le tableau de variations defsur0;ϑ. 5. Représenter graphiquement la courbe de la fonctionf  dans un repère orthonormal ( unité 2 cm ) sur l’intervalle;ϑ 6. Calculerϑϑ6/3/f(t)dt. Exercice 5
3) Soit la fonction g définie sur¡par :g(t)11%ϑ2#4çèϑæ3cso2t#cso4511t¸øƒ  a- Démontrer que g est paire. Démontrer que g est périodique et admet  pour périodeϑ.     b-On étudie g sur l'intervalle [0 ;ϑ/2].  Calculerg'(t démontrer que l'on a :) etg'(t)1 %8is2ntèçæ1#2cos4tø¸ƒ 3ϑ5  En déduire le sens de variation degsur [0 ;ϑ/2].  c- Sur le graphique de la question 1), dessiner la courbe représentative de  g sur [0 ;ϑ/2].  On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 etϑ/2. Exercice 6  On considère la fonctionΦdéfinie sur¡par :         Φ(t)134#ϑ42cosæϑçè2tƒϑ%¸ø22cosϑt  1° Montrer queΦest paire et périodique de période 4.  2° a) CalculerΦ'(t)pour tout réeltet vérifier que :                Φ'(t)1ϑsin4æçè4ϑtƒ¸øcosæçè43ϑtƒ¸ø  b) En déduire le sens de variation deΦsur [0 ; 2].  3° Construire dans un plan rapporté à un repère orthonormal,  les courbes représentatives defet deΦpour t appartenant à [%2 ; 2].  (Unité graphique : 4 cm). Exercice 7 les questions sont indépendantes  1.On considère le signal défini par la fonctionf   ϑ%périodique , définie sur  [0;ϑ] par :f(t)1t%ϑt.    a)Étudier les variations de la fonctionfsur l'intervalle [0 ;ϑ].  Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à  l'intervalle [0 ;ϑ].Démontrer quefest une fonction paire  b) Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à  l'intervalle [%3ϑ; 3ϑ]. 2 - On considère un signal modélisé par la fonctionudéfinie sur¡paru(t) a) Montrer que la fonctionuestϑ-périodique et paire. b) Tracer, dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la  fonctionu, pour tΠ[% ϑ, 2ϑ](unité graphique : 2 cm). 3. Soit la fonctionf de¡dans¡, de la variablet, telle que : f(t)11#cos tt pour]0 ;ϑ[     îíìf est périodique de pÎériode2ϑ  Représenter graphiquementf sur [% ϑ; 2ϑ]. 4. Soitfla fonction2ϑ-périodique définie parf(t)1t2sur[;ϑ].
1n sit.
 Tracer dans un repère orthogonalO;i;june ébauche du graphe defsur  l'intervalle%éë3ϑ;3ùϑ 5. On considère la fonction définie sur¡, paire,ϑ-périodique telle que ϑ        f(t)12tsitéÎêë0;2ùϑ.Tracer la représentation graphique defsurϑë%é;ϑù 6. Soit la fonction numériquefdéfinie sur¡, paire, périodique de période 1  oùΝ est un nombre réel tel  telle que :ïíìff((tt))11/ 2sisi0tσtσ1/Ν2 îï1%ΝΝσσ
 que000Ν2.Uniquement dans cette question,on  prendraΝ 161. Représenter la fonctionfsur l'intervalle [-1; 1] dans un repère  orthonormal. 7-Soit la fonction numériquefde la variable réelle t telle que : ï impaire et def est périodeϑ    ïîíìf(t)11%cos 2t si0σtσ2ϑ  Etudier les variations defsur [0 ;π]. Tracer, dans un plan muni  d'un repère orthonormal(O;i;j)unité graphique1 cm),  la courbe représentative defsur [%2π; 2π]. Exercice 8 Soit le signalf, dit « triangle»définie sur¡, paire, de période2ϑ, telle que : ìíf(t)1t si tÎ[0;ϑ]  îf(t)12ϑ %t si tÎ[ϑ; 2ϑ]. 1° ) Représenter dans le repère donné en annexe la fonctionfsur l’intervalle           [%4ϑ; 4ϑ], t1 %t#t 2 ° ) On considère la fonctionfdéfinie sur¡parf 2( ) ) cos(2 cos.  a. Prouver quefest une fonction paire, de période 2ϑ.  En déduire un axe de symétrie de la courbe (C)  b. Calculerf'(t)et vérifier quef'(t)12 sint1%2 cost.  c. Dresser le tableau de variation defsur l’intervalle[0 ;ϑ].  d. Compléter dans le même repère donné en annexe la courbe de  la fonctionfsur l’intervalle[%2ϑ; 2ϑ].
Exercice 9  1°) Résoudre l’équationcos(t% ϑ)410, puis l’inéquationcos(t40)sur 2[0 ;ϑ].  On considère la fonctionfdéfinie sur¡parg(t)12#sint%costpour  tout réeltÎ[0 ; 2ϑ] . t1t%  2°) Calculerg'(t)et vérifier queg'22soc)(æçèϑ4ƒ¸ø.  En déduire les variations degsur[0 ; 2ϑ]. 2ϑíïϑ#ΚÎÛΚ1  Rappel :cosu1cosΚïîïìÛíuuΚ#1Κ%#1k2kϑk΢ ;sinusinìïîuu%ϑ11Κ2k#2kϑk¢ cosa#b1aosb%sinasinb a%b1a b#aosb               sin c cos( ) cos cos( ) cos c ; a#b1a b#a b a%b1a b%sacosb               ; sin( ) sin cos cosin( ) sin cos cos sin Exercice 10  Soit le signalfdéfinie sur¡, de période2ϑ, telle que :f(t)1tsitÎ];ϑ[. 1° ) Représenter dans un repère la fonctionfsur l’intervalle[%2ϑ; 2ϑ], 2 ° ) On considère la fonction g définie sur¡parg(t)1 %2 sint#sin(2t). a. Prouver que g est une fonction impaire, de période 2ϑ. b. Prouver queg'(t)12 cost2 cost%1. c. Dresser le tableau de variation de g sur l’intervalle[0 ;ϑ]. d. Compléter dans le même repère donné en annexe la courbe de la %  fonctiongsur l’intervalle[ 2ϑ; 2ϑ]. Exercice 11  On considère la fonctionfdéfinie sur¡parf(t)1sin2tcos (2t)  pour tout réeltÎ[;ϑ]. 1°) Prouver quefest une fonction paire, de périodeϑ.
 En déduire un élément de symétrie de la courbeC . 2°) Résoudre, sur[0;ϑ]2, l’équation2 cos(2t)%110puis l’inéquation2 cos(2t)%120. t 3°) Calculerf'(t)et vérifier quef'( )1sin (2t) 2 cos (2t)%1.  En déduire les variations defsur[0;2ϑ]. Exercice 12 Soitf, la fonction définie sur¡par :f(x)1sinx(cosx#.)1 1° Justifier que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à [ 0;ϑ.] 2° Montrer quef'(x)1(cosx#1)(2 cosx%1) dispu lerssreaelbat e ed u  variations def 0 ;sur [ϑ].  (on justifiera les signes trouvés dans le tableau). 3° On appelle T la tangente à la courbeCf au point d’abscisse 0.  Déterminer une équation de T. 4° Construire T etCf  [sur l’intervalle;3ϑ justifiant la construction.] en Exercice 13  Soitfla fonction définie sur¡parf(x)1cos(2x)#2 sinx.  On appelleC sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i;j) . 1° Vérifier que l'on peut réduire l'ensemble d'étude def 0 ; 2à l'intervalle [ϑ]. 2° Démontrer que, pour tout réelx,f'(x 2) est du signe de : cos(x)(1%2 sin(x))  Etudier les variations def 0 ; 2sur [ϑ son tableau de variation.] et dresser  Donner les valeurs exactes des extrema, et préciser en justifiant s'il s'agit  de minimum ou de maximum. 3° Démontrer que la courbeC admet la droite d'équationx12ϑpour axe de symétrie. 4° Déterminer une équation de la tangente T àC au point d'abscisse 0.  Etudier la position deC par rapport à T sur[ 0 ;ϑ/ 6] 5° On a tracé ci-contre, dans un repère orthonormal, la courbeC sur [ 0 ; 2ϑ].  (l'unité graphique n'est pas  précisée ) En utilisant les questions précédentes compléter le tracé  sur [; 2ϑ tracer la droite T] et
Exercice 1 1 . Représentation graphique de fonction
y
1
y
1
-ϑ/2 -ϑ/4 0ϑ/4ϑ/2 3ϑ/4x-3ϑ/4 -ϑ/2 -ϑ/4 0ϑ/4ϑ/2 3ϑ/4x            On dessine la courbe sur[2;0ϑ] La fonction est paire donc son graphe est [  Symétrique par rapport à l’axeOy) y
1
-2ϑ-7ϑ/4-3ϑ/2-5ϑ/4 -ϑ-3ϑ/4 -ϑ/2 -ϑ/4 0ϑ/4ϑ/2 3ϑ/4ϑ5ϑ/4 3ϑ/2 7ϑ/4
fest périodique de périodeϑdoncf(t# ϑ)1f(t)etf(%t# ϑ)1f(%t) OrtÎ[0;ϑ], donc%tÎ[; 0]et%t# ϑÎ[0;ϑ]              f(%t# ϑ)11%sin(%t# ϑ)11#sin(%t)11%sint1f(t)commef(%t# ϑ)1f(%t)  on déduit quef(%t)1f(t)et par conséquentfest paire  La fonctionfest%ϑpériodique donc le graphique est obtenu par translation  de vecteurkϑi.
-ϑ
-3ϑ/4
-ϑ/2
-ϑ/4
ϑ/2
ϑ/3
ϑ/6
0
ϑ/4
 
ϑ/2
3ϑ/4
ϑ
2ϑx
Exercice 2
1.f'(t)1sint#tcost.pour tÎ0;ϑ/ 2 sint³0ettcost³0, doncf'(t)³0et par  conséquentfest croissantepour tÎ0;ϑ/ 2. ϑ 2. La tangente en 0 est horizontale :f'(0)10 :.la tangente en 2 f'(ϑ2)1sin(ϑ)2# ϑ(soc2ϑ) 1#0 1      1 1 2  etf(ϑ2)1 ϑ(n2isϑ)21 ϑ2, puisy1f'(ϑ()2t% ϑ)2# ϑ211´(t% ϑ2)# ϑ21t. Exercice 3 ·f(%t)11#cos2%tsin2%t11#cos2tsin2t1f(t) doncfest paire. ·Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2ϑ.  f(t# ϑ)11#cos2t# ϑsin2t# ϑ 11# %cost2%sint211#cos2tsin2t1f(t  ,  doncf de périodeest Périodiqueϑ. ·f(t#2ϑ)çæè11#cos2çæèt#2¸¸ϑøƒƒøsi2nçæèt#21ƒϑ¸ø1#s2intc2os    f(t% ϑ)2æçè11#cos2èæçt% ϑ2øƒ¸ƒ¸øsin2èçæt% ϑ2¸ƒ1ø1#sint2cost2 ìïíïïîiscnosçèèæ22#ϑt¸1ƒø¸c%inssotíìïïîïiscnosæèçç22%ϑt1¸øƒ¸øƒcsosint ϑ ϑ æç#tøƒ1tæè%t1t
2.f'(t)1 %2 sintcostsin2t#1#cos2t2 sintcost1 %2 sintcostsin2t#2 sintsoct2#sin cots    f'(t)1 %2 sintcost#2 sintcos3t)#2 sintcost#2 sintcos3t;f'(t)14 sintcos3t) 3. pour touttÎ0;ϑ:sint³0 etcos2t³0, car c’est un carré etcos2ts’annule  en même temps quecost.  on en déduit le tableau de signes pourg'(t)et le tableau  de variation pourg.t0ϑ/ 2ϑ                              sint      #                     # cost#0%                         g'(t)     #            0          %   1 g(t)0 0
4.ϑϑ3/6/f(t)dtëê1é85t%(2sin14t)%s213in(4t)ùϑϑ3/6/ / 35 3     ϑϑf(t)dt148ϑ%32 / 6 Exercice 4 % % 1 %  - pour tout t réel :g(%t)11ϑ2èæçsin%t#nis31%3t1øƒ¸1ϑ2èæçsint3s1in3tøƒ¸g(t),  donc g est impaire
- On vérifie quegest2ϑ%périodique ( c’est-à-dire que2ϑest une période )  Pour tout t réel on a :      g(t#2ϑ)11ϑ2çæèsint#2ϑ #si(1n33t#2ϑ)¸1øƒ1ϑ2çèæsint%1n3si3t1ƒø¸g(t).  Pour tout t réel on a :g'(t)112osct#cos 3t.Or on sait que : ϑ  cosp#cosq12 cosèçæp#qø¸ƒcosçæèp%q¸ƒø. Doncg'(t)121soct#cos 3t1(242cost) cost 2 2ϑ ϑ Etudions le signe deg'(t): Sur l’intervalle[0;ϑ]4, on a :tÎ;4[0ϑ] donc2tÎ[0;ϑ2]etcos(2t)³0pourtÎ[0;ϑ]. 4 Sur l’intervalle[4ϑ;2ϑ], on a :tÎ[4ϑ;2ϑ]donc2tÎ[2ϑ;ϑ] etcos(2t)σ0pourtÎ[ϑ4;ϑ2] . Sur l’intervalϑ ϑ le43;[2], on a :tÎ[ϑ24;3ϑ]donc2tÎ[ϑ2;3ϑ] etcos(2t)σ0pourtÎ2[ϑ43;ϑ]. Sur l’intervalle4[3ϑ;ϑ], on a :tÎ43[ϑ;ϑ]donc2tÎ23[ϑ; 2ϑ] etcos(2t)³0pourtÎ23[ϑ; 2ϑ]. Sur l’intervalle[0;ϑ]2, on a :cos(t)³0 et sur2[ϑ;ϑ] cos(t)σ0, d’où le tableau de variation deg. t0ϑ ϑ3ϑ ϑ                                                                         4 2 4  cost1 # 0 # % % %1 cos(2t)1 # 0 1 0 # % % g'(t) # 0 % % 0 # 0                          
              M18 2                                M18 2 ϑ ϑ g(t)0m18 0 ϑ
æ ϑ ƒ æ æ ϑ ƒ æ ϑ ƒƒ æ ƒ æ ƒ æ ƒ 1 # 1 # 1 # 1 gçè4ø¸1ϑ2èçsinèç4ø¸1sni33èç4øø¸¸1ϑ2èç223212ø¸1ϑ2èç26632ø¸12ϑçè426ø¸ ϑ12ϑæ13ϑ 112 1 1 gæçè2ƒ¸ø1ϑçèsinæçè2ƒ¸ø#3nisæçè2ƒøƒ¸ø¸æç1è%ϑ3ƒ¸ϑ1ø2èæç3211øƒ¸;g(0)1g(ϑ)10
1
8
.
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