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Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau BTS

De
22 pages
Travaux pratiques
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique
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TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS1GO 2009-2010
Exercice 1
f est paire

 
Soit la fonctionfcomme suit :de vers définie f(t) 1 sint pour0t

f est périodique de période

1- Représenter graphiquementfsur l'intervalle [2; 2].
Le plan sera muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 5 cm en ordonnée).
2-Etudier les variations de la fonctionf.
Exercice 2
f est paire et periodique de période

Un signal est modélisé par la fonctionfdéfinie sur par :
f(t)tsintt pour 0;/ 2
 

1. Étudier les variations defsur l'intervalle [0 ;/2].
2. Soit C1la partie de la représentation graphique defsur l'intervalle [0 ;/2], relativement à un repère
orthonormal du plan (unité graphique 2 cm).
Tracer les tangentes à C1aux points d'abscisses 0 et/ 2 . Tracer C1.
3. Dans le même repère tracer la représentation graphique C defsur l'intervalle[ ;]
Exercice 3
2 2
 
Soit la fonction numériquefdéfinie sur parf(t)1costsint
1. a . Montrer quefest paire et périodique de période2

b .Démontrer que la droite d’équation:test un axe de symétrie pour
2
la courbe (C ) sur0 ;.
2
3
 
2. Montrer quef'(t)4 sintcost: (. Rappels uv'u'vv'u etw'2w'w
3. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0 ;et donner le tableau de
variations defsur0 ;
/ 3
5 1 1
4. Montrer quef(t) cos 2tcos 4t, puis calculerf(t)dt

/ 6
8 2 8
Exercice 4
121
Soit la fonction numériquefdéfinie sur parf(t)sintsin 3t
 
3
1. Montrer quefest impaire et périodique de période2

2. Démontrer que la droite d’équationxest un axe de symétrie
2
24
3. Montrer quef'(t)cos 2tcost. Rappels :

pq pq
(cospcosqcos2 cos )
   
2 2
4. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0;et
donner le tableau de variations defsur0;.
5. Représenter graphiquement la courbe de la fonctionf
dans un repère orthonormal ( unité 2 cm ) sur l’intervalle;
/ 3
6. Calculerf(t)dt.

/ 6
Exercice 5
2 4cos 2t1
3) Soit la fonction g définie sur par :g(t)1  cos 4t
 
 3 15
a- Démontrer que g est paire. Démontrer que g est périodique et admet pour période.
b- On étudie g sur l'intervalle [0 ;/2].

84
Calculerg'(t)et démontrer que l'on a :g'(t) sin 2t1cos 2t
35
En déduire le sens de variation degsur [0 ;/2].
c- Sur le graphique de la question 1), dessiner la courbe représentative de g sur [0 ;/2].
On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et/2.
Exercice 6
3 42
On considère la fonctionpar :définie sur (t) costcost
 
2 2
42
1° Montrer que.est paire et périodique de période 4
4 3
2'(t)pour tout réelt°t e rivéerfialqu erceulaC ) :'(t)sintcost
   
4 4
b) En déduire le sens de variation desur [0 ; 2].
3° Construire dans un plan rapporté à un repère orthonormal, les courbes représentatives defet de
pour t appartenant à [2 ; 2]. (Unité graphique : 4 cm).
Exercice 7 les questions sont indépendantes
1. On considère le signal défini par la fonctionf périodique , définie sur [0;] par :f(t)tt.
a) Étudier les variations de la fonctionfsur l'intervalle [0 ;].
Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à l'intervalle [0 ;].
Démontrer quefest une fonction paire
b) Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à l'intervalle [3; 3].
2 - On considère un signal modélisé par la fonctionupardéfinie sur u(t)sint.
a) que la fonuticiate re.s neotM pon rqueert-périodi
b) Tracer, dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonctionu, pour t [ , 2]
(unité graphique : 2 cm).
f(t)1cost pour t]0 ;[
3. Soit la fonctionfdans , de la variable de t, telle que :
f est périodique de période2

Représenter graphiquementf sur [ ; 2].
2
4. Soitfla fonction2-périodique définie parf(t)tsur[;].
 
Tracer dans un repère orthogonalO;i;june ébauche du graphe defsur l'intervalle3;3
 
5. On considère la fonction définie sur , paire,-périodique telle quef(t)tsit0 ;
 
22
 
Tracer la représentation graphique defsur;
 
6. Soit la fonction numériquef, paire, périodique de période 1 telle que :définie sur
   
f(t2) 1/ si0t

 où est un nombre réel tel que0 2.Uniquement dans cette question,on
f(t) sit1/ 2


1
prendra. Représenter la fonctionfsur l'intervalle [-1; 1] dans un repère orthonormal.
6
périodeimpaire et de f est 2

7-Soit la fonction numériquefde la variable réelle t telle que :
f(t)1cos 2t si0t


Etudier lesfsur [0 ;πamronoht l rund'i ore èrepu nadsnm nulpna]. er, Tracnoits viaar(O;i;j)unité de
graphique1 cm) courbe représentativ,eladefsur [2π ; 2π].
Exercice 8
f(t)tt si [0;]

Soit le signalf, dit « triangle»définie sur , paire, de période2, telle que :.
f(t)2 t si t[; 2]

1° ) R deopnrénsée entne ar ndnaenxs el el ar efopènrcetion fsur l’intervalle[4; 4],
2 ° ) On considère la fonctionfdéfinie sur parf(t) 2 costcos(2t).
a. Profes paire, de péurvioertqu2nee.fEon déduire un axe de s ymétriede nc

'( ) 2 sin 
b. Calculerf'(t)et vérifier quef tt12 cost.
c .fDress[0 ;]er le tableau. usr l’i n
d. Compléter dans le même repère donné en annexe la courbe de la fonctionfsur l’intervalle[2; 2].

Exercice 9

1°) Résoudre l’équationcos(t)0, puis l’inéquationcos(t)0sur[0 ; 2].
44
On considère la fonctionfpardéfinie sur g(t)2sintcostpour tout réelt[0 ; 2].
2
2g'(t)et vérifier queg'(t)°)Calcuolsert. En déduire les variations degsur2[0 ; ].
 
2 4
 
       
u2ku2k
Rappel :cosucos k¢ ;sinusin  k
 ¢

u  2ku    2k


cos(ab)cosacosbsinasinb; cos(ab)cosacosbsinacosb
sin(ab)sinacosbcosasinb; sin(ab)sinacosbcosacosb
Exercice 10
So , de périoide2, telle que :ft(lte)stsit];[. i
1° ) Représenter dans le repère donné en annexe la fonctionfsur l’intervalle[2; 2],
2 fonction g défini°e)sOurn conpsairdègr(etl)a 2 sintsin(2t).
a. Prouver que g es de périt un2e fon. ode
 
b. Prouver queg'(t)2 cost2 cost1.
c Dres de variatio . gss[0 ;]rrelu .n le urvaelaiblnttea’l eed
d. Compléter dans le même repère donné en annexe la courbe de la fonctiongsur l’intervalle
[2; 2].
Exercice 11
2
On considère la fonctionfpardéfinie sur f(t)sintcos (2t)pour tout réelt[;].

1°) Prouver quefest une fonction paire, de période. En déduire un élément de symétrie de la courbe C .

2°) Résoudre, sur[0; ], l’équation2 cos(2t)10puis l’inéquation2 cos(2t)10.
2

 
3°)f'(t)et vérifierCqaulcef'(t)sin (2tcos (2) 2 t)1lre sl eirue dédu.En d etaoiavirfs[0; ].
2
Exercice 12
Soitfpar :, la fonction définie sur f(x)sinx(cosx1).
1 peut rédui° Ju sd’étude ràe l[’i0;]. ti n fi
2° Montrer quef'(x)(cosx1)(2 cosx1)puis dresser le tableau de variations defsur[ 0;].
(on justifiera les signes trouvés dans le tableau).
3° On appelle T la tangente à la courbeC au point d’abscisse 0. Déterminer une équation de T.
f
4° Construire T etC sur l’intervalle[; 3]en justifiant la construction.
f
Exercice 13
Soitfla fonction définie sur parf(x)cos(2x)2 sinx.
On sa courbe représentative dansapupnerlelepèCre orthonormal(;i;j).
1° Vérifier que l'on peut réduire l'ensemble d'étude defà l'intervalle[ 0; 2].
2 pour tout réelx,f'(x°) qertroném D dnese tuds giue,:2 cos(x)(12 sin(x))
Etudif les ers[ 0; 2]vari s o atiet dres s ur
Donner les valeurs exactes des extrema, et préciser en justifiant s'il s'agit de minimum ou de maximum.

3° Démontrer que la courbe C admet la droite d'équationxpour axe de symétrie.
2
4° Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

er

gn

o

Etudier la position de C par rapport à T sur[ 0;/ 6]
5° On a tracé ci-contre, dans un repère orthonormal, la courbe C sur[ 0; 2]. (l'unité graphique n'est pas
précisée ) En utilisant les questions précédentes compléter le tracé sur[; 2]et tracer la droite T

Exercice 1
1 . Re résentation
y

1

- /2 - /4 0
 

ra hi ue de fonction

/4 /2 3 /4
  x

y

1

-3 - /2 - /4 0 2 3 /4
/4  /4 /x



On dessine la courbe sur[0; ] La fonction est paire donc son graphe est
2
Symétrique par rapport à l’axe[Oy)
y

1

-2 -7 /4-3 /2-5 /4 - -3 /4 - /2 - /4 0
       

/2 4 2
/45 /4 3 /2 7 /3 /4 x
    

fest périodique de périodedoncf(t)f(t)etf(t)f(t)
Ort[0;], donct[; 0]ett[0;]
f(t)1sin(t)1sin(t)1sintf(t)commef(t)f(t)on déduit que
f(t)f(t)et par conséquentfest paire
La fonctionfestpériodique donc le graphique est obtenu par translation de vecteurki.
Exercice 2

-

-3/4

-/2

-/4

/2

/3

/6

0

/4

/2

3/4

1.f'(t)sinttcost.pour t0;/ 2 sint0ettcost0, doncf'(t)0et par
conséquentfest croissantepour t0;/ 2.

2. La tangente en 0 est horizontale :f'(0)0:.la tangente en
2
   
f'( )sin( )cos( )101
2 2 2 2

       
etf( )sin( ), puisyf'( )(t) 1(t) t.
2 2 2 22 2 22 2
Exercice 3
2 2 2 2
f(t)1costsint1 costsint f(t)
   doncfest paire.
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période2.
2 2
2 2 2 2

   ,
f(t) 1 costsint1 costsint1 costsint f(t)
doncfest Périodique de période.

2 2 2 2
       
f(t)1costsint 1sintcost
22 2
 
2 22 2
      
f(t)1costsint 1sintcost
2 2  2
   
cost sintcostsint
   
22
 
 
 
sintcostsintcost
   
 
2 2
     
2 2 2 3
 
2.f'(t) 2 sintcostsint1cost2 sintcost 2 sintcostsint2 sintcost2 sintcost
3 33
f'(t) 2 sintcost2 sintcost)2 sintcost2 sintcost;f'(t)4 sintcost)
22
3. pour toutt0;:sint0 etcost0, car c’est un carré etcosts’annule
en même temps quecost.
on en déduit le tableau de signes pourg'(t)et le tableau
de variation pourg.
t0 / 2 
/ 3
5t1 1sint  
/ 3
4.f(t)dt sin(2t)sin(4t)
 
/ 6cost  0 
328 4 
/ 6
g'(t)  0 
5 3
/ 3
f(t)dt 

1
/ 6
48 32
g(t)0 0
Exercice 4
- pour tout t réel :121
g(t)sintsin3t
 
3
,
donc g est impaire
- On vérifie quegest2périodique ( c’est-à-dire que2est une période )
Pour tout t réel on a :
121121
g(t2)sint2sin3(t2)sintsin3tg(t).
   
33
12
Pour tout t réel on a :g'(t)costcos3t.Or on sait que :
 

pq pq
cospcosq2 cos cos
   
2 2
   

12 24
Doncg'(t)costcos3tcos(2t) cost. Etudions le signe deg'(t):
  
 

Sur l’intervalle[0; ], on a :t[0; ]donc2t[0; ]etcos(2t)0pourt[0; ].
4424
   
Sur l’intervalle[ ; ], on a :t[ ; ]donc2t[ ;]etcos(2t)0pourt[ ; ].
4 24 224 2
3333
Sur l’intervalle[ ; ], on a :t[ ; ]donc2t[; ]etcos(2t)0pourt[ ; ].
2 42 422 4
3333
Sur l’intervalle[ ;], on a :t[ ;]donc2t[ ; 2]etcos(2t)0pourt2[ ; ].
4422

Sur l’intervalle[0; ], on a :cos(t)0 et sur[ ;] cos(t)0,
22
d’o variatiogn de. ù le tableau de

t

cost
cos(2t)
g'(t)

g(t)

 3
0
4 24
      
       
      
8 2 8 2
M M
 
8
0m 0

       
1214 2 8 212 3 2 2 12 12 2 1 2
gsinsin 3    
     
      
444 3 2 3 26 66
     
       
 
1211211228
gsinsin 31  ;g(0)g()0
         
 
22 3 233
         
 
       
3123192 12 4 2 1 2 12 3 2 12 2 8 2
gsinsin    
     
     
444 3 22 3 6 66
     
       


 







j
 
   
      







 



Exercice 5
est symétrique par rapport à 0 et pour tout t réel :
2 4cos(2t) 12 4cos(2t) 1
g(t)1  cos(4t)1  cos(4t)g(t),
   
 3 15 3 15
donc g est paire .
- On vérifie quegestpériodique : Pour touttréel on a :
2 4cos(2(t)) 12 4cos(2t2) 1
g(t)1  cos(4(t))1  cos(4t4)g(t).
   
 3 15 3 15
Doncgest bienpériodique.

42sin 2t4sin 4t
b.gest bien dérivable surRet etg'(t)  .orsin 2a2sinacosa,
 
3 15
dosin 4t2sin 2tcos 2tet o cn n
42sin2t8sin2tcos2t84 cos2t
g'(t)    sin2t1
   
3 15 35
   
84 cos2t
on a obtenu que :g'(t) sin2t1.
 
35
 
Etude de variation :

Lorsque0ton a :02t, doncsin(2t)0et1cos 2t1
2
4 4 44 4 4
et cos 2tdo1 1cos 2t1, nc
5 5 55 5 5
1 4 94
c’est-à-dire1cos 2t donc1cos 2t0sur[0; ]et par
5 5 552
conséquent :g'(t)0surR.gest donc strictement décroissante surR
c. graphique
La tangente à la courbe représentantgau point d’abscisse 0 pour équation :
yg'(0)(x0)g(0)
2 4 4 22
org(0)1   1etg'(0)0doncy1 0,873.
31555

La tangente à la courbe représentantgau point d’abscissexa pour équation :
2
  
yg'( )(x)g( )
2 2 2
4 302 4 204 46
org( )1   1 1et
23151515
46
g'( )0doncy1 0, 024.
215
y

-

-3 /4

- /2

- /4

1

0

/4

/2

3 /4

5 /4

3 /2

7 /4

Exercice 6.
1. - est symétrique par rapport à 0 et pour tout t réel :
3 442 3 2
(t) costcostcostcost(t)
        .
2 2 2 2
4242
doncest paire
On vérifie queest4périodique : Pour touttréel on a

2x

a

a :

3 42 3 42
(t4) cos (t4)cos(t4) cost2cost4(t)
   
2 2 2 2
4 2 4 2
   
3 42
 costcost(t)
 
2 2
4 2
 
42 22 2  23 
2.'(t) sint sintsintsintsin(t)sint2 sin(t) sint
2 2         
2 2 2 24 4
           
4 3pq pq
Donc'(t)sintcost; (sinpsinq2sin cos
      
4 42 2
     
 
3 
tkou tkdonc t4k
'(t)0équivaut àsint0oucost0donc
  
444 4
  
3 3 2 4k
out kou t  2kdonc t  oùk¢.

4 2 4 2 3 3

22 332
0t;0t  et0t  doncsint0
 
34 64 3 4 4 3 24
32
etcost0sur .
 [0; ]t2
430 2
3
2   
    '(t)
t2;t2+ 0et 0  
34 26 4
M
32 333
(t)
  t 2A B
2 4 3 4 4 2
32
doncsint0etcost0sur2][ ; .
  
443
D’où le tableau de variation sur l’intervalle[0; 2]
3 33 23 6
M  1, 05 ;A  0,95264 etB  0,14.
222
444

-2

-1

y

1

0

1

2

x

Exercice 7
1. 2.af(t)ttsit[0;[etf'(t)2tdoncf'(t)0pourt/ 2.
t0/ 2 
f'(t) 
+ 0 -
2
/ 4

f(t)
0 0
Représentation graphique.

y

3/4

/2

/4

-2-7/4-3/2-5/4 --3/4 -/2 -/4 0/4/2 3/45/4 3/2 7/4 2x

b.f est périodiqueod edfpn(étcriod)ef(t)etf(t)f(t)
Ort[0;], donct[; 0]ett[0;]
f(t)(t)((t))(t)(t)t(t)f(t)
commef(t)f(t)on déduit quef(t)f(t)et par conséquentfest paire.
2.a.u(t)sin(t) sintsintu(t)etu(t)sin(t) sintsintu(t);
Donuesodi re. t bci péri pai en que et
b. lorst[0;]:u(t)sintsqiunet puisint0s[0;s]i ur.s cet
la courbe C associée à u est la courbe représentative de la fonction sinus .
comme u estpériodique, la courbe représentative sur[; 2]est obtenue par
translation deipuis deide l’élément C.
y

1

-2 -7 /4-3 /2-5 /4 - -3 /4 - /2 - /4 0 / /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2
        4      x

3.
1.a) la fonctiontacostest une fonction de référence dont le graphique est connu .
le graphique de la fo[0;]s’obtient à partir dnec celui de la fonction
tacostsur[0;], noté C par translation de vecteurj, on obtient le graphique
de la fonction f sur[0;]de période, noté Cf. Puisque f est périodique ,
on effectue une translation de vecteuripuis une translation deipour
obtenir le graphique de f sur[; 2[.
4.dans le repère(O;i;j), la représentation graphique
de fonctionfsur l’intervalle; est une parabole . par translation de vecteur
 
2iet de vecteur2i, on peut obtenir la courbe demandée .









j



i




j






 
cost

quen ur

tio

-3

-5 /2

-2

-3 /2

-

- /2

y

5 /2

2

3 /2

/2

0

/2

3 /2

2

5 /2

3
x

 
5.fest définie surR, paire et périodique , de périodeT; de plusf(t)tsit0 ;,
 
22
 
  
On trace le segment de droite définie sur l’intervalle0 ;, puis son symétrique
 
2
 
par rapport à l’axe des ordonnées . par translation de vecteurioui
on obtient la courbe demandée sur[;]:
y
4

-3/2

-

-/2

2

0

/2

3/2

x

-2

1111 1
6. Dans cette question, on a :f(t)sur0;etf(t) sur;
  
3666 2
  
1 1
Avec la parité de la fonctionf, on peut tracer la courbe sur l’intervalle;
 
2 2
 
en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. De plus, la fonctionf
est périodique de période 1, donc on obtient la représentation ci-dessous :
1

-1

-1/2

1/3

0
-1/6
-1/6

1/6

1/2

1

7-
1.fest dérivable sur[0;]etf'(t)2sin(2t)

f'(t)0équivaut àsin 2t0 sin 2tsin 0 t kaveck¢donctsur[0;].
22
Sit[0;/ 2] 2t[0;]etsin(2t)0sur[0;]doncsin(2t)0sur[0;/ 2].

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