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Cours Physique - Série S: Dipôle RC et dipôle RL

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Fiche de révision Physique: Electricité

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Ajouté le : 07 mars 2014
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Nº : 36005
Plan de la fiche
1. Définitions 2. Règles 3. Méthodologie
I - Définitions
Fiche Cours
PHYSIQUE
Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL
Série S
• Courant électrique :déplacement de charges électriquesq. Lamesure du débit de charges donne l’intensité du courant : - dans le cas d’un courant continu (intensité constante du courant au cours du temps), l’intensité est définie par :I = Q / ∆tQ est la charge ayant traversé une portion du circuit pendant la durée∆t; - dans le cas d’un courant variable (intensité non constante du courant au cours du temps),l’intensité est définie par :i = dq / dtdqest la charge électrique circulant dans le circuit pendant une duréedt.
• Orientation d’un circuit :choix du sens d’orientation du courant électrique pour lequel l’intensité est> 0.Le sens d’orientation est matérialisé par une flèche. L’intensité est une grandeur algébrique ;le branchement d’un ampèremètre oriente de fait le circuit : entrée par la borneAde l’ampèremètre et sortie par laCOMde l’ampèremètre. Si l’ampèremètre affiche une valeur> 0, l’orientation du circuit est correcte ; dans le cas contraire, il faut inverser le sens d’orientation.
• Tensionélectrique entre les deux bornesAetBd’un dipôle :différence de potentiel électrique(VAV)entre ces deux B points. Latension est une grandeur algébrique :U= −U. Elle est représentée par une flèche. A BB A
• Convention récepteur :la flèche précisant l’orientation du dipôle deAversBest en sens contraire de la flèche utilisée pour représenter la tensionU. A B
• Sens conventionnel du courant :sens de la borne+du générateur vers la bornedu générateur à l’extérieur du circuit. Le sens conventionnel du courant est de sens contraire à celui du déplacement des électrons.
• Condensateur:composant constitué de deux surfaces conductrices (armatures) séparées par un isolant diélectrique. Un condensateur se caractérise par une grandeurCde symbolenommée capacité dont l’unité est le Farad,F.
• Bobine :composant constitué d’un fil conducteur entouré d’une gaine. Une bobine se caractérise par deux grandeurs : - l’inductanceLdont l’unité est le Henry, de symboleH; - la résistancerdu fil conducteur dont l’unité est l’Ohm, de symbole.
• DipôleRC:association série d’un conducteur ohmique de résistanceRet d’un condensateur de capacitéC.
• DipôleRL:association série d’un conducteur ohmique de résistanceRet d’une bobine d’inductanceLet de résistancer.
• Echelon de tension :variation brutale de la tension appliquée à un dipôle (dipôleRCou dipôleRL).
• Charged’un dipôleRC :phénomène correspondant à un régime transitoire au cours duquel les tensions aux bornes du conducteur ohmique et du condensateur augmentent progressivement. La charge d’un condensateur nécessite le branchement du condensateur à un générateur de tensionEgénérateur extrait les électrons libres d’une armature et les fait circuler vers l’autre. Le armature :il y a déplacement de charges.Comme les charges ne peuvent pas traverser le condensateur, elles s’accumulent sur les armatures. L’armatureAdu condensateur perd des électrons et présente une charge électriqueq> 0. A L’armatureBdu condensateur capte des électrons et présente une chargeq< 0à tout instant :telle que, B q =q =q. A B Au cours de la charge,qetUaugmentent proportionnellement selon la relation :q = C.U. A BA B La fin de la charge correspond à un régime permanent (ou régime établi ou régime asymptotique) oùqetUatteignent des A B valeurs maximales( q= C.E ;U =E)eti = 0. MAX ABMAX
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Fiche Cours
PHYSIQUE
Série S
• Décharge d’un dipôle RC :phénomène correspondant à un régime transitoire au cours duquel les tensions aux bornes du conducteur ohmique et du condensateur diminuent progressivement.Le condensateur n’est plus connecté au générateur.Les électrons accumulés sur l’armature négativeBlors de la charge du condensateur se déplacent vers l’armature positiveA. Au cours de la décharge,qetUdiminuent proportionnellement selon la relation :Uq = C.. A BA B La fin de la décharge correspond à un régime permanent (ou régime établi ou régime asymptotique) oùqetUatteignent des A B valeurs minimales (et . qMIN= 0UMIN= 0) et– E / RI = AB MAX
• Etablissement du courant dans un dipôleRL:phénomène correspondant à un régime transitoire au cours duquel l’intensité du courant dans le circuit augmente progressivement.Tout se passe comme si la bobine s’opposait à l’établissement du courant. La fin de l’établissement du courant correspond au régime permanent (ou régime établi ou régime asymptotique) :l’intensité est constante(i = cte ≠ 0)et la bobine se comporte alors comme un conducteur ohmique.
• Suppression du courant dans un dipôleRL:phénomène correspondant à un régime transitoire au cours duquel l’intensité du courant dans le circuit diminue progressivement.Tout se passe comme si la bobine s’opposait à la suppression du courant. La fin de la suppression du courant correspond au régime permanent (ou régime établi ou régime asymptotique) oùi = 0.
• Constante de temps (ou temps caractéristique) d’un dipôleRC:grandeur homogène à un temps, définie parτ = R.Cet caractérisant la rapidité de charge (ou de décharge) d’un condensateur à travers un conducteur ohmique. τcorrespond à la durée nécessaire pour charger un condensateur à63 %de sa valeur maximale ou pour décharger un condensateur à37 %de sa valeur maximale (voir méthodologie ci-après). Au bout de5 τtension u aux bornes du condensateur est égale :, la - lors de la charge, à99 %de sa valeur maximale ; - lors de la décharge, à1 %de sa valeur maximale. On considère au bout d’un tempst = 7 τque le condensateur est chargé (ou déchargé).
• Constantede temps (ou temps caractéristique) d’un dipôleRL :grandeur homogène à un temps, définie parτ = L /Ret caractérisant la rapidité d’établissement (ou de suppression) du courant dans la bobine. TOTALE τcorrespond à la durée nécessaire pour que l’intensité prenne une valeur égale à63 %de sa valeur finale lors de l’établissement du courant ou une valeur égale à37 %de sa valeur initiale lors de la suppression du courant. Au bout de5 τdu courant est égale :, l’intensité - lors de l’établissement du courant,à99 %de sa valeur maximale ; - lors de la suppression du courant,à1 %de sa valeur maximale. On considère au bout d’un tempst = 7 τque le courant est établi (ou supprimé).
II - Règle
Propriétés • Propriété n°1 Un condensateur chargé est un réservoir d’énergie : il restitue de l’énergie lorsqu’il se décharge. Un condensateur est un interrupteur ouvert, stockeur de charges. • Propriété n°2 Une bobine emmagasine de l’énergie mais ne peut pas restituer en différé (comme le condensateur) l’énergie stockée. En régime permanent, une bobine est un interrupteur fermé.
• Propriété n°3 Dans un dipôleRCcharge, laqd’un condensateur et la tensionuaux bornes du condensateur ne sont jamais discontinues. A B Par contre,l’intensitéidu courant subit une discontinuité.
• Propriété n°4 Dans un dipôleRLl’intensitéde l’établissement ou de la suppression du courant,, lorsidu courant n’est jamais discontinue. Par contre,la tensionuaux bornes de la bobine subit une discontinuité. A B
• Propriété n°5 La loi des nœuds et la loi d’additivité des tensions s’appliquent également lorsque les circuits sont parcourus par des courants variables.
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Fiche Cours
PHYSIQUE
• Propriété n°6 La tension aux bornes d’un condensateur est définie par :uA B= q / C. L’armatureAporte la chargeq; l’armatureBporte la charge(– q).
• Propriété n°7 La tension aux bornes d’une bobine est définie par :u= r i + L (di / dt). A B
Série S
• Propriété n°8 L’équation différentielle de la tensionuaux bornes d’un condensateur lors de la charge de ce condensateur à travers une C résistanceRen réponse à un échelon de tension s’établit comme suit : E =u+u(application de la loi d’additivité des tensions). R C Or :u= R i(loi d’Ohm) eti = dq / dt. R Ce qui conduit à :i = C ( du/ dt). C Soit l’équation différentielle de la tensionulors de la charge : C E =u +[RC × ( du/ dt)]posantou, enτ = RC : E =u+ [τ × (du/ dt)]. C CC C La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : t/τ u=Ae+BAetBsont des constantes qui se déterminent à partir des conditions initiales :u (0)= 0. C C Soit :A + B = 0conduisant àA = – B. t/τ −t/τ D’où :uC=B(e+1et(duC/ dt)=(B /τ)e t/τ −t/τ L’équation différentielle s’écrit :E=B(e+1)+ τ ×(B /τ)×e t/τ Soit :B = Econduisant à :uC=E(1e)où pourt → ∞, ona :uC= E Compte tenu que : C( t/τ q = Cu:, alorsq = C E1eoù pourt → ∞, ona :q = C E t/τ i = dq / dt, alors:i = (E / R)eoù pourt → ∞a :, oni = 0
• Propriété n°9 L’équation différentielle de la tensionuaux bornes d’un condensateur lors de la décharge de ce condensateur à travers une C résistanceRen réponse à un échelon de tension s’établit comme suit : 0 =u +u(application de la loi d’additivité des tensions). C R Soit l’équation différentielle de la tensionulors de la décharge :0 =u+ [τ × (du/ dt)] C CC La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : t/τ u=Ae+BAetBsont des constantes déterminées à partir des conditions initiales := Eu (0) C C Soit :0 = E - (A / τ) × τ. Conduisant à:A = E D’où := E + B = Eu (0). Soit :B = 0 C t/τ Alors :u=Eeoù pourt → ∞, ona :u =0 C C Compte tenu que : t/τ q = Cu, alors:q=C Eeoù pourt → ∞a :, onq = 0 C t/τ i = dq / dt:, alorsi= −(E / R)eoù pourt → ∞, ona :i = - (E /R)
• Propriété n°10 L’équation différentielle de l’intensité du courant traversant une bobine(L, r)dipôle d’unRL soumisà un échelon de tension s’établit lors de l’établissement du courant comme suit : E=u+u(application de la loi d’additivité des tensions). R L Or :uR=R i(loi d’Ohm) etu=r i+L(di / dt) L Ce qui conduit à :E=R i+L(di / dt)avecR=r+R TOTALE TOTALE L’équation différentielle de l’intensité du courant lors de l’établissement du courant s’écrit : (E / RTOTALE)=i+[τ ×(di / dt)]avect=L / RTOTALE La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : t/τ i=Ae+BAetBsont des constantes déterminées à partir des conditions initiales : i(0) = 0. Soit :0 = A + B:. D’oùA = – B Comme ,on en déduit :E / R= τ×(B /τ)=B. (di / dt)t=0= −A /τTOTALE
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Fiche Cours
PHYSIQUE
t/τ Soit :i=(E / RTOTALE)×(1eoù pourt → ∞, ona :i=E / RTOTALE Commeu= r i + L (di / dt)en déduit :, on L t/τ −t/τ uL=(r E / RTOTALE)×(1e)+(Ee)où pourt → ∞, ona :uL=(r E)/ RTOTALE Si la bobine a une résistance négligeable, lors de l’établissement du courant,uvarie de :0 à E. L
Série S
• Propriété n°11 L’équation différentielle de l’intensité du courant traversant une bobine(L, r)d’un dipôle(RL)soumis à un échelon de tension s’établit lors de la suppression du courant comme suit : 0 =u+ [L × (di / dt)] R Soit :0 = i + [τ × (di / dt)] La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : t/τ i=Ae+BAetBsont des constantes déterminées à partir des conditions initiales. i (0)=E / R=A+B:. D’où TOTALE Comme(di / dt)t=0= −A /τ , onen déduit : 0=(E / R)τ × (A / τ ) = A. Soit :A=E / RTOTALE TOTALE Pourt = 0, l’équation différentielle s’écrit :E / R=E / R+B TOTALE TOTALE Soit :B = 0 t/τ ù :(TOTALE)0 D’oi=E / Reoù pourt → ∞a :, oni = Commeu= r i + [L × (di / dt)], onen déduit : L t/τ −t/τ uL=(r E / RTOTALE)eEeoù pourt → ∞, ona :uL0 = Si la bobine a une résistance négligeable, lors de la suppression de courant,uvarie deEà0. L
• Propriété n°12 L’énergie emmagasinée par un condensateur est : 2 EC=(21 /)×(C u). 2 Compte tenu deq = C ua :, onEC=(1 /2)×(q u)ouEC(21 /)(Cq / = × En effet, la puissance reçue par le condensateur est : P=u×i=u×C×(du / dt). C CommePC=dEC/ dten déduit :, onEC=[(21 /)×(C u)]+k 2 kest déterminée à partir des conditions initiales :u(0) = 0. Soit :k = 0etE=(21 /)×(C u) 2 C
• Propriété n°13 L’énergie emmagasinée par une bobine est : 2 EL=(21 /)×(L i. En effet, la puissance reçue par la bobine est : P=u×i=(r i)+(L i)×(di / dt). 2 2 Le termer icorrespond à la puissance dissipée par effet Joule et ne contribue donc pas à l’énergie emmagasinée par la bobine. Soit :PL=L(di / dt) × 2 en déduit :EL=[(1 /2)×L i]+k' CommePL=dEL/ dt, on K’est déterminée à partir des conditions initiales :i(0) = 0 2 Soit :k’ = 0etEL=(1 /2)×(Li
III - Méthodologie
• Méthodes pour déterminer la valeur de la constante de temps du dipôleRC
- première méthode : on connaîtRetC. On calculeτ = RC;
- deuxième méthode : lecture graphique ;
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Fiche Cours
PHYSIQUE
Série S
−>charge du condensateur :u(τ) = E(1e)≈ 0,63 E 1 Par lecture graphique de l’abscisse du point de la courbe de chargeu = f(t)dont l’ordonnée est égale à0,63 Eobtient, onτ. 1 −>décharge du condensateur :u(τ) =Ee ≈0,37 E. Par lecture graphique de l’abscisse du point de la courbe de déchargeu = f(t)dont l’ordonnée est égale à0,37 E, onobtientτ.
- troisième méthode : utilisation de la tangente à l’origine.
−>charge du condensateur :(du / dt)=E /τ t=0 La tangente à l’origine de la courbeu = f(t)coupe l’asymptoteu = Eau point d’abscisset = τ. eur :(du /)t0− τ−>décharge du condensatdt==E / La tangente à l’origine de la courbe de déchargeu = f(t)coupe l’axe des abscisses ent = τ.
• Méthodes pour déterminer la constante de temps du dipôleRL
- première méthode : on connaîtR,retL. On calculeτ = L / (R + r);
- deuxième méthode : lecture graphique ;
−>établissement du courant :
1 i(τ)=(E / RTOTALE)×(1e)0,63(E / RTOTALE). Par lecture graphique de l’abscisse du point de la courbe d’établissement du couranti = f(t)l’ordonnée est égale à dont0,63(E / RTOTALE), onobtientτ. 1 −>suppression du courant :( )(TOTALE)37 E / RTOTALE iτ =E / Re0, Par lecture graphique de l’abscisse du point de la courbe de suppression du couranti = f(t) dontl’ordonnée est égale à0,37 (E / RTOTALE)obtient, onτ.
- troisième méthode : utilisation de la tangente à l’origine.
−>établissement du courant :(di / dt)=E / Rt=0 TOTALE La tangente à l’origine de la courbe d’établissement du couranti = f(t) coupel’asymptotei= −E / Rpoint d’abscisse au TOTALE t = τ. −>suppression du courant :(di / dt)= −E / Rt=0 TOTALE La tangente à l’origine de la courbe de suppression du couranti = f(t)coupe l’axe des abscisses ent = τ.
• Le produitRCest homogène à un temps
L’analyse dimensionnelle conduit à :[τ] = [R] × [C] Or :R = u / ietC = q / u = (i × t) / u D’où :[R] = [U] / Iet[C] = (I × T) / [U] Soit :[R] × [C] = T: homogène à un temps.
• Le rapportRL /est homogène à un temps TOTALE L’analyse dimensionnelle conduit à :[τ] = [L] /[RTALE] TO Or :R=u / ietu= L × (di / dt) TOTALE L 1 D’où :[RT]= [U] / I et [U] = [L] × I × T -1 <=> [L] = [U] /(I×T OTALE Soit :[L] /[RTOTALE]= T: homogène à un temps.
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