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Devoir Libren15 PSI MATHEMATIQUES (a`rendreVendredi12Fe´vrier2010) Danstoutleprobl`eme,Ede´leeisngR-espace vectorielR[Xeitnrse´`scaeocels.psed]emoˆnylo Pour tout entier natureln, on noteEnle sous-espace deEelpsperaro´mfegr´sdedˆomeolynuae pluse´gala`n. Selonlusage,onconvientdidentierunpolynoˆmeetlafonctionpolynomialeassocie´e.   2n L’espaceEnest muni de sa base canoniqueBn= 1, . . ., X, X, X.   n! n Lescoecientsbinomiauxsontnot´es=(06k6n). k k!(nk)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonne´unpolynˆomePdeEenˆompolytinue´no,dnφ(P) par :   200 0 [φ(P)] (X) =X1P(X) + 2XP(X). 1)istJunaoquere´disniadnenuinomorphismeφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielEnest stable parφ. Onnoterade´sormaisϕnl’endomorphisme deEninduit parφsurEn: PEn, ϕn(P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quenga´este.a3l` ´ a) Ecrirela matriceM3deϕ3dans la base canonique deE3. b) Justifierqueϕ3est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE3diagonalisantϕ3-idsmoeitncoeecsdmeˆoynolpedee´mrof, nants´egaux`a1. 4)nrevOerlertitunadalenune´gsre´ntneiacuanquelconque. a) Montrerque la matriceMndeϕndanslainuqeetsabesaconreaip´suiatrulngteireeeru pr´ecisersescoecientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕniatdes´rpteelbasilanogcesireeldsmineisonsdesessous-espseca propres. ´ PartieB:Etudedunefamilledepolynˆomes Pour tout entier naturelnne´dno,lypoleiteomnˆLnpar n P 12 n nk k Ln(X) =(X1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)esomnˆlypoeselmilpie´suofmrselculersoCaL0,L1,L2etL3. 2)CalculerLn(1) pour toutnN. 3)reim´Dtelrengedede´reLnen fonction den(nN) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queLnit´eeparmˆemalauqen. 5)rmfoladedeail`ae,re´irVedeluLeibniz, que : n  1 dn 2 nN, Ln(X) =X1 . n n 2n! dX 6)reuiplexEnedd´celtceoticinemeodimeitnedantnLn, puis la relation  n Pn22n nN,= . k n k=0 1