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Devoir Libre n°5 PSI

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Devoir Libre n?5 PSI MATHEMATIQUES ( à rendre Vendredi 22 Octobre 2010) Exercice 1 A la suite de nombres réels (uk)k?N on associe les suites (Pn)n?N et (Qn)n?N définies par Pn = n∏ k=0 (1 ? uk) et Qn = n∏ k=0 (1 + uk). 1. On suppose que (Qn)n?N converge. (a) Montrer que (uk)k?N converge vers 0. (b) En prenant uk = 1k , montrer que la réciproque est fausse. 2. On suppose que uk est positif ou nul pour tout k et que la série de terme général uk converge. (a) Etudier la convergence de la suite (Pn)n?N : on pourra utiliser la fonction logarithme népérien. Montrer que, si la suite (Pn)n?N admet une limite nulle, l'un au moins des termes de la suite (uk)k?N est égal à 1. (b) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. 3. On suppose toujours les uk tous positifs ou nuls, mais on suppose que la série de terme général uk est divergente. (a) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. (b) Lorsque de plus tous les uk sont strictement inférieurs à 1, calculer la limite de la suite (Pn)n?N.

  • endomorphisme de cn

  • application identité de cin

  • polynôme

  • ?i ?

  • base canonique de cn

  • compagnon du polynôme p1

  • devoir libre n?5

  • ?21 ?


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Exercice 1
Devoir Libren5 PSI MATHEMATIQUES ( À rendre Vendredi 22 Octobre 2010)
A la suite de nombres rÉels(uk)kNon associe les suites(Pn)nNet(Qn)nNdÉfinies par n n Q Q Pn= (1uk)etQn= (1+uk). k=0k=0 1. Onsuppose que(Qn)nNconverge. (a) Montrerque(uk)kNconverge vers 0. 1 (b) Enprenantuk=, montrer que la rÉciproque est fausse. k 2. On suppose queukest positif ou nul pour toutket que la sÉrie de terme gÉnÉraluk converge. (a) Etudierla convergence de la suite(Pn)nN: on pourra utiliser la fonction logarithme nÉpÉrien. Montrer que, si la suite(Pn)nNadmet une limite nulle, l’un au moins des termes de la suite(uk)kNest Égal À1. (b) Etudierla convergence de la suite(Qn)nN. 3. Onsuppose toujours lesuktous positifs ou nuls, mais on suppose que la sÉrie de terme gÉnÉralukest divergente. (a) Etudierla convergence de la suite(Qn)nN. (b) Lorsquede plus tous lesuksont strictement infÉrieurs À1, calculer la limite de la suite (Pn)nN. 4. On suppose dÉsormais que lesuksont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉral|uk|est convergente. Etudier la convergence de la suite(Qn)nN. Montrer que, si la suite(Qn)nNadmet une limite nulle, l’un au moins desukest Égal À 1. 5. On suppose dÉsormais que lesuksont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉralukest convergente. P 2 (a) Montrerque, si la sÉrieuconverge, alors la suite(Qn)nNconverge et sa limite n est non nulle. P 2 (b) Montrerque, si la sÉrieudiverge, alors la suite(Qn)nNconverge vers 0. n k+1 (1) 6. Dansle cas particulier oÙu0est Égal À 1 et oÙukest Égal À− √pour tout entierk k supÉrieur ou Égal À1, Étudier la convergence de la suite associÉe(Qn)nN.On sera amenÉ À faire un dÉveloppement limiÉ deln(1 +uk).
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