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Devoir Libren18 PSI MATHEMATIQUES ( rendre le 26 Mars 2010)
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L’usage de calculatrices est interdit Partie 1 Question 1. On appelleθla fonction deRdansRaprieeptedoi,2uedep´er´eriodiqπne´apeir:d, h i2 π π 2 x0θ, ,(x) =x 2 4  h i  π π3π x, θ, π(x) =xx2 22 1.1.Tracer les graphes des fonctionsθetθ1viredee´faletcnoiond´,θ. 1.2.itcnofalnossraieur`aeei´ocnireal´sreeiedoFD´etermθ1. ´ Etudier sa convergence. Question 2. Ende´duirelase´riedeFourierassoci´ee`alafonctionθd´eniepcelledeΦte:ra Z x xR,Φ(x) =θ(u)du. 0 ´ Etudierlaconvergencedecess´eries. 0 Lasuiteduprobl`emeconsistea`rechercherlesfonctionsUde classeCsur Ω = [0, π]×R+et 2Csur [0, π]×Ronsctidissonvauisetn:evte´iratnel + 2 ∂ U∂U (x, t)[0, π]×R,(x, t() =x, t) (1) + 2 ∂x ∂t tR+, U(0, t) =U(π, t(2)) = 0 (P) x[0, π],limU(x, t(3)) = 0 t+x[0, π], U(x,0) = Φ(x) (4) Une fonctionUosulidetudrpitno,(3),(2))estet(4alererta)1(snoitierv´questlanl`obeem (P). Lesparties2et3sontind´ependantes. Partie 2. Onseproposedechercherdessolutionsdele´quationdi´erentielle(1)souslaformedefonctions V´dr:inesuesparΩ (x, t)Ω, V(x, t) =g(x).h(t) 2 2 o`ugsetlulneedfeoclnctionr´eesaesCsur [0, π] ethontieer´neuncfoessdellalceCsurR+.