Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

Devoir Libren1 PSI MATHEMATIQUES (À rendre le 6 septembre 2011)
Exercice 1: 1. Montrerque, si une suite(xn)nINest convergente, la suite(x2nxn)nINconverge vers 0. n X 1 2. OndÉfinit la suite(Sn)nINpar :Sn= k k=1 1 (a) MontrerquenIN, S2nSn. 2 (b) EndÉduire que(Sn)nINdiverge vers+. Z Z k+1k 1 11 3. Montrerque :k2, dt≤ ≤dt t kt k k1 4. EndÉduire un encadrement deSnpour toutn1. 5. EndÉduire un Équivalent deSn. 6. OnconsidÈre les suites(an)nINet(bn)nINdÉfinies par : n P1 an=ln(n) k k=1 n P1 b=ln(n+ 1) n k k=1 (a) Enutilisant la concavitÉ de la fonction ln, montrer que :x >1, ln(1 +x)x. (b) Montrerqu’elles sont adjacentes. (c) EndÉduire qu’il existeγIRtel que : Sn= ln(n) +γ+o(1) (d) Justifier:n1, bnγan. (e) Ecrireune procÉdure Maple permettant de calculer une valeur approchÉe deγÀ une 3 prÉcisionadonnÉe. Donner une valeur approchÉe deγÀ10prÈs.
Exercice 2: 1. RÉsoudredansRl’Équation :t+ sint= 0. 2. Pourtout rÉelttel quet+ sint6= 0, on pose : 1 ψ(t) =. t+ sint 2x R Montrer que l’intÉgraleψ(t)dtest dÉfinie pour toutxR. x On noteraf(x)sa valeur. L’objet de ce problÈme est l’Étude de la fonctionfassociÉe, dÉfinie surR. 3.Question pour les 5/2: Soitx0>0. La fonctionψest-elle intÉgrable sur]0, x0]? 4. Etudierla paritÉ def. ∞ ∗0 5. Montrerquefest de classeCsurR, et calculerf(x)sous forme factorisÉe pourx >0. 6. EndÉduire le sens de variation defsur]0,+[.
1/3