Devoir Libre n˚ PSI

Description

Devoir Libre n˚ 17 PSI a rendre le 30 Mars 2012 Soit (L) l'equation differentielle : y??(x)? y(x) = b(x), definie sur [0, 1], ou b et y sont des fonctions definies sur [0, 1] a valeurs dans R, b continue et y de classe c2 et (L0) l'equation differentielle homogene associee : y??(x)? y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de (L). 1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L0) ? En donner une base. 2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ? 3. Verifier que la fonction h : x ? [0, 1] 7? h(x) = ∫ x 0 sh(x ? t)b(t)dt est une solution de l'equation differentielle (L). ( Rappel : pour tout reel z, sh(z) = ez ? e?z 2 et ch(z) = ez + e?z 2 ) . 4. En deduire que les solutions de (L) s'ecrivent sous la forme : ?x ? [0, 1], y(x) = Ach(x) +Bsh(x) + h(x) ou A et B sont des constantes reelles.

• endomorphisme auto-adjoint


• allure de la representation graphique de ?


• unique solution


• equation differentielle


• coefficients de fourier de ?


• ?f ?


• calcul de la norme de l'endomorphisme ?

Sujets

• Endomorphisme autoadjoint
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mars 2012
• Nombre de lectures: 94
• Langue: Français

Extrait

Devoir Libre n˚17 PSI `arendrele30Mars2012

00 Soit (Llle:ntiel’)uqe´oitaffidnere´y(x)−y(x) =b(x0r[su)nfieid,e´,1]`u,obety 2 sontdesfonctionsd´efiniessur[0,sdans]1`avaleurR,bcontinue etyde classecet 00 (L 0 neit´ffrenoidauiteassg`enhomoelle:ee´ico)leq’´y(x)−y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de(L).

1. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de (L 0 ) ?En donner une base. 2. Quelleest la structure de l’ensemble des solutions de (L) ? R x 3.Ve´rifierquelafonctionh:x∈[0,1]7→h(x) =sh(x−t)b(t)dtest une 0 solutiondel’e´quationdiffe´rentielle(L). z−z z−z   e−e e+e Rappel:pourtoutr´eelz,sh(z) =etch(z) =. 2 2 4.Ende´duirequelessolutionsde(Le:)s’´ecirevtnossualofmr ∀x∈[0,1], y(x) =Ach(x) +Bsh(x) +h(x) ou`AetBdtsesno.seeellesr´tantcons 5. Soientαetβd.lseer´esbromxneu   s(0) =αsh(1) Prouver l’existence d’une unique solutionsde (L) et re´vanifit:  s(1) =βsh(1) On admettra que la fonctionsest la fonction : Z 1 s:x∈[0,1]7→αsh(1−x) +βsh(x)−H(x, t)b(t)dt 0 o`uHnoededxuavirbaelestlafoncti:rapeinfie´ds 2 [0,1]→R ( 1 H: sh(1−x)sh(t) sit6x sh(1) (x, t)7→H(x, t) = 1 sh(x)sh(1−t) sit>x sh(1) R 1 2 2 et que la fonctionx7→H(x, t)b(t)dtest de classecsur [0,1] . 0

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