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Devoir Libre n˚ PSI

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Devoir Libre n˚ 17 PSI a rendre le 30 Mars 2012 Soit (L) l'equation differentielle : y??(x)? y(x) = b(x), definie sur [0, 1], ou b et y sont des fonctions definies sur [0, 1] a valeurs dans R, b continue et y de classe c2 et (L0) l'equation differentielle homogene associee : y??(x)? y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de (L). 1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L0) ? En donner une base. 2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ? 3. Verifier que la fonction h : x ? [0, 1] 7? h(x) = ∫ x 0 sh(x ? t)b(t)dt est une solution de l'equation differentielle (L). ( Rappel : pour tout reel z, sh(z) = ez ? e?z 2 et ch(z) = ez + e?z 2 ) . 4. En deduire que les solutions de (L) s'ecrivent sous la forme : ?x ? [0, 1], y(x) = Ach(x) +Bsh(x) + h(x) ou A et B sont des constantes reelles.

  • endomorphisme auto-adjoint

  • allure de la representation graphique de ?

  • unique solution

  • equation differentielle

  • coefficients de fourier de ?

  • ?f ?

  • calcul de la norme de l'endomorphisme ?


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Devoir Libre n˚17 PSI `arendrele30Mars2012
00 Soit (Llle:ntiel)uqe´oitaidnere´y(x)y(x) =b(x0r[su)neid,e´,1]`u,obety 2 sontdesfonctionsd´eniessur[0,sdans]1`avaleurR,bcontinue etyde classecet 00 (L0neit´renoidauiteassg`enhomoelle:ee´ico)leq´y(x)y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de(L).
1. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de (L0) ?En donner une base. 2. Quelleest la structure de l’ensemble des solutions de (L) ? R x 3.Ve´rierquelafonctionh:x[0,1]7→h(x) =sh(xt)b(t)dtest une 0 solutiondele´quationdie´rentielle(L). zz zz   ee e+e Rappel:pourtoutr´eelz,sh(z) =etch(z) =. 2 2 4.Ende´duirequelessolutionsde(Le:)s´ecirevtnossualofmr x[0,1], y(x) =Ach(x) +Bsh(x) +h(x) ou`AetBdtsesno.seeellesr´tantcons 5. Soientαetβd.lseer´esbromxneu s(0) =αsh(1) Prouver l’existence d’une unique solutionsde (L)etre´vanit: s(1) =βsh(1) On admettra que la fonctionsest la fonction : Z 1 s:x[0,1]7→αsh(1x) +βsh(x)H(x, t)b(t)dt 0 o`uHnoededxuavirbaelestlafoncti:rapeine´ds 2 [0,1]R ( 1 H:sh(1x)sh(t) sit6x sh(1) (x, t)7→H(x, t) = 1 sh(x)sh(1t) sit>x sh(1) R 1 2 2 et que la fonctionx7→H(x, t)b(t)dtest de classecsur [0,1] . 0
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