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1) Etuded’une fonction
Devoir Libren8 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele27Novembre) Exercice 1
2x On posefn´endior:paienotclfax]1,+[, f(x) =ln(1 +x) 1 +x a)Mnono´equatitrerquelf(x) =xadmet exactement une solutionc >1. b)Montrer que :x >1, f(x)x.
2)Etudedunesuitere´currente
Onconside`relasuitere´currenteu= (un)nN,d´eniepar u]1,+[ 0 2un nN, un+1=f(un) =ln(1 +un) 1 +un a)On poseI= [0,1]. Montrer queIest stable parf. b)Soitu0Irqrelauee.x´ntMoustieuuenie,etqbteidne´sen0, unI. c)teuiaselqurertnome´Duconverge vers une limite`. d)enuerrdlaevramliD´ete`.
3)Etudedunese´rienum´erique  n  X X 1 1 Soitlas´erienume´riquef. On poseSn=f. n k n1k=1 1 a)Montrer que :kN,ln(k+ 1)lnkk   2 11 b)uq:eiuer´ndEdekN,− ≤f k+ 1k k   X 1 c)utanaltseelleuQieers´laderefluse.tattove´rerposoreed?rPcationsduxjustin n1