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Devoir Surveillé n PSI

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Devoir Surveillé n?1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durée : 4 heures) Problème I On considère ici l'espace vectoriel réel E = M4(IR) muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel noté ?. On note, pour (x, y, z, t) ? IR4, diag(x, y, z, t) = ? ? ? ? x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 t ? ? ? ? On note I = diag(1, 1, 1, 1). Soit A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 ?1 0 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? On note f l'endomrphisme de E dont A est la matrice dans la base canonique de IR4. 1. Démontrer que E est de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quel est le rang de A ? A est-elle semblable à J = diag(1, 1, 0, 0) ? 3.

  • b0 de ir4

  • dimension

  • devoir surveillé n?1

  • existence de matrices s1

  • hyperplan vectoriel

  • coefficients réels

  • ?1 ?

  • matrice dans la base canonique de ir4

  • matrice inversible

  • dimen- sion de imtu


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Devoir SurveillÉn1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durÉe : 4 heures)
ProblÈme I On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M4(IR)muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel notÉ×. 4 On note, pour(x, y, z, t)IR,   x0 0 0 0y0 0 diag(x, y, z, t) =   0 0z0 0 0 0t On noteI=diag(1,1,1,1).   1 1 10− √ 2 2 1 1 0− √1 2 2 SoitA= 1 1 0− √1− √ 2 2  1 1 − √1− √0 2 2 4 On notefl’endomrphisme deEdontAest la matrice dans la base canonique deIR. 1. DÉmontrerqueEest de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quelest le rang deA?Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? 3. MontrerqueE= ker(f+ 2IdE)ker(f2IdE)kerf 4. MontrerqueAest semblable Àdiag(2,2,0,0). 5. Montrerl’existence de trois endomorphismes deEtelle que : IdE=p1+p2+p3 i∈ {1,2,3}, pipi=pi 2 (i, j)∈ {1,2,3}, i6=j=pipj= 0 f= 2p12p2 6. Etablirl’existence de trois matricesU, V, Wtelles que : Id=U+V+W 2 22 U=U;V=V;W=W U V=V U=U W=W U=V W=W V= 0
7. MontrerqueΨ :M7AMM Aest un endomorphisme deE. 8. EndÉduire queC={ME/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE.
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