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Devoir SurveillÉn1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durÉe : 4 heures)
ProblÈme I On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M4(IR)muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel notÉ×. 4 On note, pour(x, y, z, t)IR,   x0 0 0 0y0 0 diag(x, y, z, t) =   0 0z0 0 0 0t On noteI=diag(1,1,1,1).   1 1 10− √ 2 2 1 1 0− √1 2 2 SoitA= 1 1 0− √1− √ 2 2  1 1 − √1− √0 2 2 4 On notefl’endomrphisme deEdontAest la matrice dans la base canonique deIR. 1. DÉmontrerqueEest de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quelest le rang deA?Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? 3. MontrerqueE= ker(f+ 2IdE)ker(f2IdE)kerf 4. MontrerqueAest semblable Àdiag(2,2,0,0). 5. Montrerl’existence de trois endomorphismes deEtelle que : IdE=p1+p2+p3 i∈ {1,2,3}, pipi=pi 2 (i, j)∈ {1,2,3}, i6=j=pipj= 0 f= 2p12p2 6. Etablirl’existence de trois matricesU, V, Wtelles que : Id=U+V+W 2 22 U=U;V=V;W=W U V=V U=U W=W U=V W=W V= 0
7. MontrerqueΨ :M7AMM Aest un endomorphisme deE. 8. EndÉduire queC={ME/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE.
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