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SESSION 1995
E.N.A.C. Ingénieurs
FILIERE M
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION
 I  R[X]étant l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne parEle sousespace deR[X]ayant pour éléments les polynômesPtels que Z 1 P(x)dx=0. 0 On appeleraDl’endomorphisme deR[X]associant à tout polynômePsa dérivéeP, etdla restriction deDàE. (−1) a) 1)Montrer quedest un isomorphisme deEsurR[X]. On désignera parϕl’isomorphisme réciproque :ϕ=d. 2)Vérifier que pour tout élémentQdeR[X], le polynômeP=ϕ(Q)est défini par : Z Z x 1 xR, P(x) =Q(t)dt+ (t1)Q(t)dt. 0 0 b)On considère la suite(Bn)nNdansR[X]définie parB0=1et par la relation de récurrence : nN, Bn+1=ϕ(Bn).
1)ExpliciterB1etB2. 2)Vérifier que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on a :Bn(0) =Bn(1). c)A tout entier natureln, on associe le polynômePndéfini par : n xR, Pn(x) = (−1)Bn(1x). Pe 1)Pour tout entier natureln, exprimern+1n fonction dePn. 2)Montrer que pour toutndansNPn+1=ϕ(Pn). 3)En déduire l’expression deBn(1x)en fonction deBn(x). d)Dans cette question,pest un entier naturel non nul. Pour toutndeNon pose : p1  X x+j n1 p Bn=Qn(x). p j=0 1)Montrer que :Qn+1=ϕ(Qn). 2)En déduire que l’on a pour tout entierpdansN: p1  X x+j n1 xR, Bn(x) =p Bn. p j=0 e)A tout entierndeN, on associe le polynômeRndéfini par : Rn=Bn+1(x+1) −Bn+1(x). Z x 1)Démontrer que l’on a pour toutn:xR, Rn+1(x) =Rn(t)dt. 0 1