Seminaire P LELONG P DOLBEAULT H SKODA Analyse 24e annee Lecture Notes in Math Springer pages

Jean-Pierre Demailly

Description

Seminaire P. LELONG, P. DOLBEAULT, H. SKODA (Analyse) 24e annee, 1983/84 Lecture Notes in Math. 1198, Springer, pages 88–97 Un exemple de fibre holomorphe non de Stein a fibre C2 au-dessus du disque ou du plan par Jean-Pierre Demailly Universite de Grenoble I, Institut Fourier Laboratoire de Mathematiques associe au C.N.R.S. n? 188 BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Heres, France Nous construisons un exemple simple d'espace fibre holomorphe a fibre C2 au-dessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de ce fibre proviennent de fonctions sur la base. We construct a simple example of a non-Stein holomorphic fiber bundle over the disk or the plane, with fiber C2 and with structural automorphisms of exponential type. We show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis. 0. – Introduction L'objet de cette note est de donner un exemple aussi simple que possible d'un fibre holomorphe non de Stein a fibre C2 ayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. C'est H. Skoda ([6], 1977) qui a donne le premier exemple d'un fibre non de Stein a base et a fibre de Stein, repondant ainsi par la negative a un probleme souleve par J.

• groupe structural des automorphismes analytiques de la fibre


• fibre


• automorphismes de transition


• principe de construction


• relations de transition voulues


• disque determine par les points diametralement


• sup x?ha

Sujets

• Laboratoire
• Demailly

Informations

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Extrait

S´eminaireP.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA (Analyse)24eanne´e,1983/84 Lecture Notes in Math.1198, Springer, pages 88–97

Unexempledefibre´holomorphenondeStein 2 `afibreCaudessus du disque ou du plan

par JeanPierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier ◦ LaboratoiredeMath´ematiquesassoci´eauC.N.R.S.n188 BP74,F38402SaintMartind’He`res,France

2 Nousconstruisonsunexemplesimpled’espacefibre´holomorphea`fibreCaudessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de cefibr´eproviennentdefonctionssurlabase.

We construct a simple example of a nonStein holomorphic fiber bundle over the disk 2 or the plane, with fiberCWeand with structural automorphisms of exponential type. show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis.

0. – Introduction L’objetdecettenoteestdedonnerunexempleaussisimplequepossibled’unfibre´ 2 holomorphenondeSteina`fibreCayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel.

C’estH.Skoda([6],1977)quiadonne´lepremierexempled’unfibr´enondeStein`abase eta`fibredeStein,re´pondantainsiparlan´egative`aunproble`mesoulev´eparJ.P.Serre [5]en1953.Nousavonsparlasuiteam´eliore´laconstructiondeH.Skodapourobtenir uncontreexempledontlabasee´taitsimplementconnexe[1],[2],maislade´monstration restait obscure du fait de la profusion d’artifices techniques plus ou moins inutiles. Nous espe´ronsavoiricibeaucoupclarifi´ecetexemple.

Leprincipedelaconstructionreposesurunein´egalite´duea`P.Lelong[4],quiimposedes restrictionss´ev`eres`alacroissancedesfonctionsplurisousharmoniques(pshenabre´ge´)le longdesfibres,cf.lemme1.1.Cetteine´galit´eentraˆıneunefortedistorsiondelacroissance suivantlesdiffe´rentesfibrespourunchoixad´equatdesautomorphismesdetransition. Graˆcea`uncalculd’enveloppepseudoconvexeutilisantleprincipedudisque,onende´duit alorsquelesfonctionspshdufibre´sontconstantessurlesfibres,cf.th´eor`eme4.6.Dans notreexemplelefibre´estdeplustopologiquementtrivial.

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