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Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides

50 pages
Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides Sorin DUMITRESCU 30 juin 2011 Resume. Nous presentons des resultats de classification pour des varietes com- plexes compactes possedant des structures geometriques holomorphes rigides. Ce travail a beneficie d'une aide de l'Agence Nationale de la Recherche portant la reference ANR-08-JCJC-0130-01. Table des matieres 1 Introduction 2 1.1 Geometries de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Structures geometriques holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Resultats classiques d'uniformisation 6 2.1 Le theoreme de coordonnee isothermes de Gauß . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Theoreme d'uniformisation des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Un theoreme d'uniformisation du a Wang . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Structures geometriques holomorphes 13 3.1 Le groupe Dr(Cn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Fibres des r-reperes et autres fibres .

  • connexion projective

  • variete kahlerienne compacte

  • holomorphe

  • espace homogene

  • isometries locales

  • holomorphes

  • groupe dr

  • point dans l'image de ? dans z


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Sur l’uniformisation locale et globale des structuresge´ome´triquesholomorphesrigides
Sorin DUMITRESCU
30 juin 2011
Resume.luatsteddsse´rseationpouclassic´te´ocsesedriravm-rpsuoNnotnese´ ´ ´ plexescompactesposs`edantdesstructuresg´eom´etriquesholomorphesrigides. Cetravailab´en´eci´eduneaidedelAgenceNationaledelaRechercheportant lare´f´erenceANR-08-JCJC-0130-01.
Tabledesmatie`res
1 Introduction 2 1.1Ge´ome´triesdeKlein...........................2 1.2Structuresg´eome´triquesholomorphes.................3
2Re´sultatsclassiquesduniformisation6 2.1Leth´eor`emedecood´eeisothermesdeGauß............6 r onn 2.2Th´eore`meduniformisationdessurfaces.................10 2.3Unth´eor`emeduniformisationduˆa`Wang................12
3Structuresge´ome´triquesholomorphes13 3.1 Le groupeDr(Cn. . . . . . . . . . . . 13) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Fibre´sdesrse..b´r........eresrep`tresetau-........4.1 3.3De´nitionetexemplesdesstructuresgeometriques...........15 ´ ´ 3.4Isome´trieslocales.Rigidite´........................21
4Re´sultatsdeclassication29 4.1Surlesvarie´te´sparall´elisables......................29 4.2Surlesvarie´t´esK¨ahle´riennes.......................33 1
5Quelquesd´eveloppements38 5.1Me´triquesRiemanniennesHolomorphes.................38 5.2 Connexions affines et projectives holomorphes . . . . . . . . . . . . . 43
1 Introduction
1.1G´eome´triesdeKlein U´erietm´,spactuneog`eneehomsneduaes,nselKieG/Iu,o`Gest un groupe negeo de Lie (de dimension finie) etIunede´mrefepuorg-suosG. Le groupeGest alors legroupedessym´etries(isome´tries)delage´om´etrieetjouelerˆolecentralsuivant: deux parties de l’espaceG/Iseeniltegamedctnois´dree´see´quivalentessiluoners l’autre par une transformation appartenant au groupeG. L’exemple type est celui dee´rte´molgannieeeuieidclorgudepuicosaee´as,es d´eplacementsG=O(n,R)nRnte`oluepteinpounougrlestilibatsedruetas d’isotropieI=O(n,R). Comme le sous-groupe des translationsRnagit librement et transitivement surG/Iteireecuilidn,euennmod`eledelag´eom´raseoralsRnmuni delaformequadratiqued´eniepositivestandarddx12+dx22+. . .+dx2n. Autresexemplesremarquablesdege´ome´tries(pr´t´eessousleursversionscom-esen plexes) sont : eholiennmannerieteiroe´mal´getalpehpromo, obtenue pourG=O(n,C)n CnetI=O(n,CUn).`domdeletece´geteom´etrieestCnmuni de la forme quadratiquecomplexenonde´ge´ne´re´edz12+. . .+dz2n.Il s’agit de la version holomorphedelage´om´etrieeuclidienne. la geometrie affine complexeobtenue pourG=GL(n,C)nCnetI=GL(n,C). ´ ´ L’action deGsurCnn-coeu`socruseesvaticompitessparlexesdroveleeserpr´ stante. irte´moetcejorpeg´laivecomplexe,o`uGest le groupe de transformations projec-tives de l’espace projectif complexePn(C) etIest le stabilisateur d’un point. Dans ce casGe.agamartr´eetcepelrsnaspserectives,itesprojeveldsorp´rsere GaußetRiemannsontlespremiersa`avoirintroduitet´etudie´lobjetinnit´esimal associ´e`alag´eom´etrieeuclidienne:enlanguagemoderne,einnameireuqirteueenn´nm surunevarie´te´estunchamplissedeformesquadratiquesde´niespositivessur l’espace tangent. Post´erieurement,dansunvasteprogrammedeg´ene´ralisation,Cartanare´ussia` de´nirlesobjetsinnite´simauxassoci´es´´etriesdeKleinG/Iet qui sont, aux geom a`cesg´eom´etries,cequelesm´etriquesriemanniennessont`alage´ome´trieeuclidi-enne [76]. Par exemple,une connexion affine holomorpheisntone-l´ieernatgi´slaa nite´simaledelage´om´etrieanecomplexeetune connexion projective holomorphe estlage´n´eralisationinnit´esimaledelage´´triprojectivecomplexe. ome e
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Cartanassociea`cesobjetsuntenseurdecourburequisannulesietseulement silobjetinnite´simalestplatoltidtnetnemelacalivqu´eat`entrem,auG/I. CartanetLieontlonguement´etudie´lessyme´tries(isom´etries)decesobjets infinit´ imaux. es Ehresmannestceluiquiapose´lecadremoderneintrinse`quedanslequelces structuresg´eom´etriquesnit´esimalessedniercuutitn´eadtresndioessine´L.]52[tn g´eome´trique,d´egag´eeparEhresmann(suiteauxtravauxpr´ecurseursdeCartan)et reprisefructueusementparGromovdans[35],estpre´sent´eedanslasuiteetsera amplementrevisite´eauchapitre3.
1.2Structuresge´om´etriquesholomorphes Commen¸conspardonnerlad´enitiondunestructurege´ome´triquedapr`es[3,35], danslecontexteholomorphequiseradiscut´edanscetexte. Consideronsunevari´et´ecomplexeMde dimensionn. Rappelons que, pour tout ´ entier positifr, le groupeDr, desr-jets en 0 de germes de biholomorphismes locaux deCnunstougrlipeean´iuqnexe,0tico¨ıncideavecriaegle´rbqieuuqGL(n,C), pourr= 1, et avec une extension deGL(n,C) par le groupe additif des formes biline´airessym´etriquessurCn, sir= 2. Lebr´edesrrese-er`pRr(M) deMeremtnida,tudestlebr´er-jets en 0 de germes debiholomorphismeslocaux,centre´sen0,entreCnetMalapicnirpe´rbnestu,u-dessus deM, de groupe structuralDr. Nous suivons [3, 35] et donnons la
D´enition1.1nUrtsereg´uctuetrieom´lomouqheerohpφ(d’ordrer) surMest une application holomorphe,Dr,rivatean´-iuqeφ:Rr(M)Z, avecZnuvera´iet´e alge´briquemunieduneactionalg´ebriquedeDr. SiZorse,aleane´´tavirutense lastructureg´eom´etriqueφ.ealg´ebriqueanedtsedetipyte
L’applicationφereduorphdebbr´etcesenuemolohnoiprerntimmcote`esZ, associe´aubr´eprincipalRr(M) via l’action deDrsurZ. Exemple :Sir= 1 etZest un espace vectoriel de dimension finie muni d’une action li ´aire deGL(n,C), alorsφest untenseur holomorphe. Il s’agit d’une struc-ne tureg´eome´triquedetypealg´ebriqueane.Ondira,avecBogomolov[12,13],queφ estyted´gepel´aner, s’il existe un point dans l’image deφdansZdont le stabilisateur est un sous-groupe fini deGL(n,C). Un biholomorphisme localfdeMe´rbudsleurtsenontiecssturellemagitna pre´ce´dent.Sicetteactionpre´serveφ, alorsfest uneoleielacomistr´edeφ. Si les isom´etrieslocalesagissenttransitivementsurMmoeirteeuqorslastructureg´,laφ ´ est ditelalocenemomthen.goe` Si l’image deφdansZest exactement uneDriisque,eaintdetibro-lors`aun espacehomog`eneDr/G,`ouGest le sous-groupe deDrqui stabilise un point de
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l’image, alorsφbde´ebrnundioersitnrerp`etecommeunesectDr/G. Cette sectionfournituner´eductiondugroupestructuraldeRr(M) au sous-groupeG. Unetellestructureg´eom´etriqueestditeuneG-structure holomorphe[48]. Lastructurege´ome´triqueφest diterigideau sens de Gromov [3, 35], si une, isome´trielocaleestd´etermin´eeparunjetdordreni.Lepseudo-groupedesisom´etries localesdunestructureg´eome´triquerigideestunpseudo-groupedeLiededimension nie,engendre´parunealg`ebredeLiededimensionnieappel´eesedbredeLiealg`e champs de Killing locaux. Pre´sentonsmaintenantdesexemplesimportantsdestructuresge´ome´triquesholo-morphes rigides qui sont desG-structures. – Sir= 1 etG={Id}cedesenriviunettaoilasimuorohhpndleono,´rpnetse bre´tangentholomorphe.Unetellestructureestaussiappel´eearpemla´llesi holomorpheanscecaset,de´teval,´iraMest dite´ellsalirapable. – Sir= 1 etG=O(n,Co,en)rpe´tsneuedncseneameireuqenneinnrietm´ holomorphe´qeiuaveltnd,naquiestl,exenude´meqirtecslteonecxtplom ue riemannienne.Ilsagitdelaversioninnite´simaledelag´eom´etrieriemannienne holomorphe plate. – Sir= 1 etG=CnO(n,Csldetulireai´ein-mocs)seedessimitlegroup plexes,onestenpr´esencedunestructure conforme holomorphe. Il s’agit d’une structureg´eom´etriquerigide,de`squensusterp´urie´eou`lagorta.sie – Soitr=2etconsid´eronlsseuo-srguoepGdeD2omis,ae`phorD1itsnoc,e´ut parles2-jetsen0disomorphismeslin´eairesdeCn. CetteG-structure est une connexion affine holomorphe sans torsion. – Soitr= 2 etGle sous-groupe deD2o,rc-el2sperati´unotsansfdetrsen0-jet mations projectives dePn(C) qui fixent 0. Il s’agit d’uneconnexion projective holomorphe normale.
Remarque 1cseltesenoixennorapaesLsmli´ell´eom´e-ucturesgtnedssrtasnseos triquesdetypealge´briqueane,maispaslesstructuresconformes,nilesconnexions projectives.
Lad´enitionpre´c´edentedesconnexionsanesetprojectives,vuescommeG-structuresestclassique[49].Lelecteurpourraegalementser´efe´rer`a[67],pourvoir ´ quelade´nitionpre´c´edentecoı¨ncideaveccelleissuedelath´eoriedesfaisceauxet adopte´edans[38,51,52]. Desnombreuxr´esultatsmontrentquelesGse´leurssheeti´arsvruseurtcomprohol-st compactesonttendanceaˆetrelocalementhomoge`nes(etmeˆmeplatesdanslecas desvari´ete´ska¨hle´riennes)[41],[43],[61],[82],[21],[19],[22]. Leplusinstructifdanscesensnoussembleler´esultatsuivantduˆ`aWang[82] (voir la preuve un peu plus tard).
Theoreme 1.2(Wang) SoitMexnncoteacmpcoxe-temdaeune´ocpmelvera´ite ´ ` tantunparalle´lismeholomorphe.AlorsMest un quotient d’un groupe de Lie com-
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plexe connexe simplement connexeGtcpraeseaunr´ompaucocΓ. De plus,Mest k¨ahl´eriennesietseulementsiGseatb´elien(etMest un tore complexe).
Rappelonsaussilesthe´ore`messuivantsquiserontprouv´esetg´en´eralise´s`ala section 4 :
Th´eor`eme1.3(Inoue, Kobayashi, Ochiai) SoitM-mocenn´ek¨i´eterieahl´veranu pacte et connexe, munie d’une connexion affine holomorpher. AlorsMadmet un reveˆtementninonrami´equiestuntorecomplexeetsurlequellimager´eciproque derest invariante par translations.
The´ore`me1.4(Bogomolov, Yau) SoitMonec-mocetcapre´lnneira´inuve¨khatee´ nexedontlapremie`reclassedeChernestnulle,munieduntenseurholomorphede ty´ene´ralφ. AlorsMtninonrami´equeitsnuoteroc-memenvˆetunredmeta pe g plexeetsurlequellimagere´ciproquedeφest un tenseur invariant par translations.
Cetextepre´senteunsurvoldesth´eoremesdeclassicationpourlesvarie´t´escom-` plexescompactesMsetsnadtemttdam´etg´eouresructehpromolohseuqirsrigidesφ (quiunientetg´en´eralisentlesre´sultat´´dent). s prece s Parexemple,danslecontextedesvarie´te´ska¨hle´riennesnousd´emontrons:
Th´eor`eme1.5SoitM`itlapdenonnxeetocpmcaconeenri´ehl¨aek´te´iravenu rem ere classedeChernestnulle,muniedunestructurege´ome´triqueholomorphedetype affineφ. Alorsφest localement homogene. ` Si, de plus,φest rigide, alorsMomecexpleadmetunrevˆetemetnnqiiuseuttnro etsurlequellimagere´ciproquedeφest invariante par translations.
Danslecaso`uMtacieL.esulple´ds´lreeinn´see¨khaationeste,lasitupoupsspasten r´esultatsdeclassicationobtenusdanscecadresontmoinsg´en´eraux:ilsconcernent lesme´triquesriemanniennesholomorphesendimensiontroisetlesconnexionsanes etprojectivesholomorphessurlessurfacescomplexescompactes.Cesre´sultatsseront ´nt´esadernierchapitre. prese u Lastrat´egieg´ene´ralepourobtenircetypeder´esultatestlasuivante.Onde´montre quelastructureg´eom´etriqueestlocalementhomoge`ne,localementisomorphea`une ˜ structurege´om´etriqueG-invarianteφleeuruspsenehacogomne`ed`moG/I(iciG seralegroupedeLieconnexeetsimplementconnexeassoci´e`alalge`bredeLiedes champs de Killing locaux deφ). Noussommesalorsdanslasituationd´ecriteparlade´nitionsuivante.
D´enition1.6vara´iet´eLMrteimoe´eel´demo´eagrlsuoltsetnemelacG/I, au sens d’Ehresmann-Thurston [24, 79], ou encore admet une(G, G/I)e,silex--´goe´mteir iste un atlas deMeursaval`stedvureedosadsnG/Itel que les applications de changementsdecartesoientdonne´espardes´el´ementsdugroupeG.
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