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Description

148 Olympiades académiques - 2007 Exercice no 3 (Section S) Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que si m est un entier naturel non nul, il existe un entier M multiple de m, tel que l'écriture de l'entier M comporte de gauche à droite une succession de 9 suivie ou non d'une succession de 0. Le nombre M sera par exemple égal à 9 ou 99 ou 90 ou 999900, . . . 1. Vérifier cette propriété pour les entiers m compris entre 1 et 6. 2. Déterminer un entier M répondant à la question dans le cas où m = 7. (Indication : on pourra chercher l'écriture décimale du nombre 1710 6 ? 17 ).3. Déterminer un entier M répondant à la question dans le cas où m = 84. 4. Démontrer la propriété dans le cas d'un entier naturel non nul quelconque m. Solution 1 1. 9 est un multiple de 1. 90 est un multiple de 2. 9 est un multiple de 3. 900 est un multiple de 4. 90 est un multiple de 5. 990 est un multiple de 6. 2. Cas m = 7. La calculatrice donne a = 1m = 1 7 = 0, 142857? ?? ? 142857. On a 106a? a = 142857, d'où 999999a = 142857 999999 = 7? 142857 D'où 999999 est un multiple de 7.

• construction demandée sur la figure


• olympiades académiques


• diamètre du cercle ?


• écriture décimaleillimitée périodique

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

148

Exercice n o

Enoncé

3 (Section S)

Olympiades académiques - 2007

Le but de l’exercice est de démontrer que simest un entier naturel non nul, il existe un entierMmultiple dem, tel que l’écriture de l’entierMcomporte de gauche à droite une succession de 9 suivie ou non d’une succession de 0. Le nombreMsera par exemple égal à 9 ou 99 ou 90 ou 999900, . . . 1. Vérifier cette propriété pour les entiersmcompris entre 1 et 6. 2. Déterminer un entierMrépondant à la question dans le cas oùm= 7. (Indication : on pourra chercher l’écriture décimale du nombre01 7 1 6 − 1 7 ). 3. Déterminer un entierMrépondant à la question dans le cas oùm= 84. 4. Démontrer la propriété dans le cas d’un entier naturel non nul quelconque m.

Solution 1

1.9 est un multiple de 1. 90 est un multiple de 2. 9 est un multiple de 3. 900 est un multiple de 4. 90 est un multiple de 5. 990 est un multiple de 6.

2.Casm= 7. La calculatrice donnea 1 == 7 1 =0, | 14 { 2 z 85 } 7 142857. m On a10 6 a−a= 142857, d’où

999999a= 142857

999999 = 7×142857

D’où 999999 est un multiple de 7.

3.Casm= 84. Procédons de la même manière. La calculatrice donnea = 1 =  0. 190501 190476. Calculons m | {z } 10 6 ¡ 10 2 a−1 ¢ =190476 + £ 10 2 a−1 ¤ d’où 10 2 a−1= 190476 10 6 −1 − a= 119 4 = 4067(+01 6 1) 8 10 2 (10 6 −1) 84[190476 + (10 6 −1)]=99999900.

Olympiades académiques - 2007

Donc 84 divise 99999900.

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4.Cas général Soitmun entier naturel non nul. Le nombre 1 admet une écriture décimale m illimitée périodique à partir d’un certain rang. En effet quand on effectue la division, les restes successifs prennent au plusmvaleurs : les entiers de 0 àm−1.

1 er l’un des restes est nul, l’écriture décimale decas : si 1 ne co mporte que m des zéros à partir d’un certain rang. Supposons que les décimales soient nulles à partir du rangp+ 1. Le nombre 1 ×10 p est un nombre entierA. m On a alorsm×A= 10 p d’oùm×A×9 = 10 p ×9. Le nombremdivise M= 9×10 p . 2 ème cas : si aucun des restes n’est nul, la partie décimale étant périodique à partir d’un certain rang, il existe donc un entierpnon nul tel que

m 1 =  0, b 1 b 2 . . . b n a 1 . . . a p a 1 . . . a p . . . | {z }

D’où en procédant comme dans le cas oùm= 84, on a en posanta = 1 : m 10 p £ 10 n a−b 1 b 2 . . . b n ¤ =a 1 . . . a p + 0. a 1 . . . a p a 1 . . . a p . . . | {z } PosonsA=a 1 . . . a p etB=b 1 b 2 . . . b n , on a 10 p [10na−B]=A+ 0. a 1 . . . a p a 1 . . . a p . . . | {z } =A+ [10 n a−B]

D’où (10 p −1)[10na−B]=A 10na−B= 10 A −1 p 10 n a=B+ A 10 p −1 10 n a=A+ B01( 10 p p − −1 1) A+B(10 p −1) a= 1 10 n (10 p −1) m =A+B(10 p −1)10 n (10 p −1) 10 n (10 p −1)=m[A+B(10 p −1)] Le nombreA+B(10 p −1)est un nombre entier, doncmdivise10 n (10 p −1) qui est un entier qui s’écrit sous la forme dep« 9 »suivis den« 0 ».

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Solution

2 (Dominique Roux)

Olympiades académiques - 2007

Considérons lesm+ 1nombres : 9, 99, 999, . . . , 99. . . 99 comportant 1 2 3 . . .m+ 1chiffres 9 Par le principe des tiroirs, deux d’entre eux, au moins, sont égaux modulo 9, ti= 9. . .9et= 9. . .9. soi | {z } j | {z } i j Siiest le plus grand,i−j≡0(mod.m) donci−jest multiple dem. Mais= 0. . .0. i−j9 | . { . z . } 9 | {z } i−j j