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Description

Olympiades académiques - 2007 125 Soit d le diamètre d'une bouteille. La hauteur de la pyramide est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté (n? 1)d augmenté de deux rayons. Donc h(d) = d+ (n? 1)d √3 2 = 8, 4? (1 + (n? 1) √3 2 ). h(20) = 146, 6 . . . cm et h(14) = 103 cm Donc les nouvelles pyramides ne remplissent pas la condition imposée. Exercice no 3 (séries autres que S et SI) Enoncé A-polygones réguliers étoilés Dans tout cet exercice, on considère un cercle (C) de rayon 5 cm et on note A un point de ce cercle. Soit n un entier naturel tel que n > 5. En partant de A, on partage ce cercle en n arcs de longueurs égales. Ces arcs sont délimités par n points régulièrement répartis (dont fait partie A), qui dé- crivent un polygone régulier. Parmi les polygones qu'on peut former à l'aide de ces n points le polygone convexe, est le seul dont les côtés ne se coupent pas. Les autres sont dits « croisés ». On considère dans toute la suite de l'exercice un polygone croisé formé sur ces n points. On parcourt chacun de ses côtés dans le sens trigo- nométrique en partant de A.

• a3 ?


• polygone régulier


• triangle équilatéral


• côtés dans le sens trigo- nométrique


• olympiades académiques


• hauteur de la pyramide

Sujets

• Polygone régulier
• Triangle équilatéral

Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

Exercice n o

Enoncé

3 (séries autres que S et SI)

A-polygones réguliers étoilés

Dans tout cet exercice, on considère un cercle(C)de rayon 5 cm et on noteA un point de ce cercle. Soitnun entier naturel tel quen>5. En partant deA, on partage ce cercle ennarcs de longueurs égales. Ces arcs sont délimités parnpoints régulièrement répartis (dont fait partieA), qui dé- crivent un polygone régulier. Parmi les polygones qu’on peut former à l’aide de cesndont les côtés ne se coupent pas.points le polygone convexe, est le seul Les autres sont dits « croisés ». On considère dans toute la suite de l’exercice un polygone croisé formé sur cesnpoints. On parcourt chacun de ses côtés dans le sens trigo- nométrique en partant deALe passage de chaque sommet au sommet suivant. parcourt un certain nombre d’arcs. Dans cet exercice, on s’intéresse au cas où le nombre d’arcs parcourus est le même pour chaque côté, notép. Un tel polygone est appeléA-polygone régulier étoilé ànbanches d’indicepet noté P(n;p).

Ainsi, il existe seulement deux A-polygones réguliers étoilés à 7 branches :

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A

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A

P A (7 , 2) A P (7 , 3) 1. Combien y a-t-il de A-polygones réguliers étoilés à 5 branches ? Expliquer soigneusement la réponse. Le(s) tracer avec des instruments de géométrie adaptés. 2. Existe-t-il des A-polygones réguliers étoilés à 6 branches ? 3. Déterminer le nombre de A-polygones réguliers étoilés à 8 branches, à 33 branches, à 41 branches. 4. On suppose quenest un nombre premier et on appelleE(n)l’ensemble des A-polygones réguliers étoilés ànbranches. Quelle est la probabilité qu’un polygone choisi au hasard dansE(n)ait un indice pair ?

Solution

1.L’indicepexplicite complètement la construction en partant deA. Ainsi, à chaque indiceppossible correspond un unique A-polygone régulier étoilé. Dans cette questionn= 5. Or26p(car on veut que le polygone soit croisé) etp <5. Il y a donc au plus ici 3 A-polygones réguliers étoilés à 5 branches correspon- dant aux casp= 2;p= 3etp= 4.

•Sip= 2, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivantAA 1 A 2 A 3 A 4 : P A (5; 2)

A 1

A 4

A 3

A

A 2 •Sip= 3, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivantAA 0 1 A 0 2 A 0 3 A 0 4 : P A (5; 3)

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A 4

 A 1

A 2

A

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A 3 Ce polygone est aussiAA 0 4 A 0 3 A 0 2 A 0 1 , et en faisant la correspondance,A 1 ↔A 0 4 ; A 2 ↔A 0 3 ;A 3 ↔A 0 2 etA 4 ↔A 0 1 , on obtient le même A-polygone régulier étoilé. Autrement ditP A (5; 3)n’est pas nouveau, c’est en réalité le polygone P A (5; 2). Plus généralement, en faisant un raisonnement analogue, on peut remarquer que lorsqu’on parcourt le polygone dans le sens trigonométrique, le passage d’un sommet au suivant ne peut pas excéder un demi-tour.

Ainsi, on ne considérera désormais que les indicesptel que :462p6n, soit encore26p6E ³ n 2 ´

•Le casp= 4n’est pas à envisager d’après l’étude précédente.

Conclusion: Il y a un seul A-polygone régulier étoilé à 5 branches :P A (5; 2). On peut le construire en utilisant la règle et le compas uniquement, puisque cela revient à déterminer les 5 sommets d’un pentagone régulier. On peut le tracer en utilisant le rapporteur puisque l’angle au centre doit mesurer 72 o .

2.Dans cette question,n= 6la question 1, on ne doit considérer que. D’après les casp= 2etp= 3.

•Si p = 2, tous les sommets ne sont pas atteints : seuls trois d’entre eux le sont (car 6 = 2 3) et on obtient un triangle équilatéralAA 1 A 2 . Il n’existe donc pas de A-polygone régulier étoilé à 6 branches d’indice 2.

A 1

A 2

A

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•Sip= 3, seuls deux sommets sont atteints (car 6 3 =2), on obtient un diamètre [AA 1 ]du disque. Il n’existe donc pas de A-polygone étoilé à 6 branches d’indice 3.

A 1

A

Conclusionde A-polygone régulier étoilé à 6 branches.: Il n’existe pas

3.Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 5 etpun entier tel que : 26p6E ³ n 2 ´ . Les questions précédentes invitent à démontrer qu’un A- polygone régulier étoilé ànbranches d’indicepexiste si et seulement si PGCD(n;p) = 1. On pose PGCD (n;p) =d, oùdest un entier naturel. On a alors PPCM(n;p) = d pn . - Sid= 1, alors PPCM(n;p) =npdonc quel que soitk∈N,16k6n−1, kpn’est pas un multiple denpuisqu’il est déjà multiple dep. Cela signifie que quel que soit le sommet choisi au départ, il faudra bien tracer exactementn cordes pour retrouver ce point. DoncP A (n;p)existe. - Sid6= 1, alo np d étant un multiple den, seuls n d sommets seront atteints. rs Ord6= 1, donc il n’y a pas de A-polygone régulier étoilé correspondant.

Par suite, un A-polygone régulier étoilé ànbranches d’indicepexiste si et seulement si PGCD(n;p) = 1, oùn>5et26p6E ³ 2 n ´ . Dénombrer les A-polygones réguliers étoilés ànbranches d’indiceprevient donc désormais à déterminer le nombre depnombres étrangers ànvérifiant26p6E ³ 2 n ´ . Il n’y a qu’un seul nombre étranger à 8 compris entre 2 etE µ 2 8 ¶ ’est = 4: c 3.

Conclusion: Il y a donc un unique A-polygone régulier étoilé à 8 branches : P A (8; 3). Les nombres étrangers à 33 compris entre 2 etE µ 3 2 3 ¶ = 16 7 ; ;sont : 2 ; 5 ; 4 8 ; 10 ; 13 ; 14 ; 15 et 16.

Conclusion: Il y a donc 10 A-polygones réguliers étoilés à 33 branches.

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41 étant un nombre premier, tous les nombres entiers qui lui sont strictement inférieurs lui sont également étrangers. Entre 2 etE µ 14 2 ¶ = 20, il y en a pré- cisément 19.

ConclusionA-polygones réguliers étoilés à 41 branches.: Il y a donc 19

4.Soitnun nombre premier. On appelleq(n)la probabilité de choisir un polygone dansE(n)ayant un indice pair. Etant dans une situation d’équipro- babilité, nous allons d’abord déterminer le nombre d’éléments deE(n). Il s’agit (voir question 3) de dénombrer les entiers compris entre 2 etE ³ 2 n ´ . Ornest premier etn>5donc n est impair. Par suiteE ³ 2 n ´ = n 2 −1 . Entre 2 et n 2 −1 , il y a n 2 −1 −1nombres entiers soit n 2 −3 indicesppossibles. Par suite CardE(n) = n 2 −3 On a choisi au hasard un polygone régulier étoilé dans E(n) = ½ P A (n; 2), P A (n; 3), . . . , P A µ n; n 2 −1 ¶¾ Combien y a-t-il de nombres pairs dans l’ensembleN= ½ 2,3  n , . . . , 2 −1 ¾ ? On sait quenest impair. Il faut distinguer deux cas : n 2 −1 est impair ou n−1 est 2 pair. −1 •Si n 2 cela signifie qu’il existe un entierest impair, alors ktel que : n−1 = 2(2k+ 1)doncn= 4k+ 3. Alors il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs doncq(n) 1 = 2 . •Si n 2 −1 est pair, alors il existe un entiermtel que :n−1 = 4mdonc −1n−1 n= 4m+ 1. Le plus grand nombre pair deNest n soit encore2×. 2 4 − Tous les nombres pairs deNsont donc de la forme2k, avec16k6 n1 . 4 Par conséquent il y en n−1 4 a et : n− q(n) = n n 4 − − 3 1 2 soit enfin :q(n  2 ) = n6 1 . − Conclusion: Lorsquenest premier(n>5)

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•

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n−1 sinest de la forme4k+ 1, oùkest un entier, alorsq(n) =. 2n−6 Sinest de la forme4k+ 3, oùkest un entier, alorsq(n=) 2 1 .

Exercice

n o

4