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Algorithmique Exercice Coupe minimale dans un graphe

3 pages
TD 4 Algorithmique Exercice 1: Coupe minimale dans un graphe Soit G un graphe connecte, non-oriente avec eventuellement plusieurs aretes entre les n sommets. Une coupe dans G est un ensemble d'aretes qui si on les enleve, G devient non-connexe. Une coupe minimale est une coupe de cardinalite minimale. Le probleme de trouver une coupe maximale est NP-complet. L'idee de l'algorithme est de choisir uniformement une arete et de fusionner les deux sommets en un seul sommet en mettant sur ce sommet les aretes qui arrivaient aux deux sommets initiaux et en enlevant les boucles. On appelle cette operation une contraction. On voit que meme si le graphe initial n'avait qu'une seule arrete entre chaque sommet, le graphe ayant subi une contraction peut en contenir au plus deux. Ce processus diminue d'une unite le nombre d'arete. L'algorithme effectue des contractions jusqu'a ce que le nombre de sommets soit egal a 2 et retourne comme valeur le nombre d'aretes entre ces deux points. 1. Montrer qu'une contraction d'arete ne diminue pas la valeur d'une coupe minimale. 2. Soit k la valeur d'une coupe minimale. Montrer que G a au moins kn/2 aretes. 3. Soit Ei l'evenement de ne pas choisir une arete de C a la i-ieme etape, pour 1 ≤ i ≤ n? 2.

  • semi-anneau

  • coupe minimale

  • matrice n?

  • arete allant de ¬

  • booleennes indexees par les entiers ≤

  • chemins de longueur minimal


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TD 4
Algorithmique
Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGsegnuhparnecteconon-o´e,n´taeirneveneev´cmeleeltuieusplntteˆrasrulertnesensommets. UnecoupedansGestunensteˆruqselbmeadel`ene,evioisesnlGdevient non-connexe. Unecoupe minimaletedevuornureuocealimLee.obpreml`pemaximaleestdepuocenutseinemt´linadiarec NP-complet. Lide´edelalgorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteop´erationunecontractionilesemmˆephraegO.qteuvnio initialnavaitquuneseulearrˆeteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminueduneunit´elenombredareˆte.Lalgorithmeeectue descontractionsjusqu`acequelenombredesommetssoite´gala`2etretournecommevaleurle nombredareˆtesentrecesdeuxpoints.
1.Montrerquunecontractiondarˆetenediminuepaslavaleurdunecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/ra2teˆes. 3. SoitEirunearˆetaesdcehoisinedtnepee´´vnemelCa`ali-i`emeuo1re´atepp,in2. (a) Montrerque Pr[E1]12/n. i1 (b) Montrerque Pr[E2|E1]12/(nenemalern´´esglue)pt1[rPeuqtEi|∩ Ej]12/(ni+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilite´trouverunecoupeminimaleparceproce´d´eestaumoins. n(n1) 4.Montrercommentobtenirunalgorithmedontlaprobabilite´de´checsoit<1/eet donner sa complexit´e.
Exercice 2:nusnadevitisnartretuˆoClhegrap 3 1.RappelerlalgorithmedeFloyd-WarshallpourcalculerlaclˆoturetransitiveenΘ(n) en temps. 2.Montrerquesilexisteunalgorithmequicalculelacloˆturetransitivedunematricen×nenA(n) additions,multiplicationsde´l´ementsdunsemi-anneauetsiA(3n)cA(nnu´reel)opruc >0 et toutnentier positifs, alors il existe un algorithme de multiplication avecM(n) =O(A(n)) additions et multiplications. 3. Montrerque si le produit de deux matricesn×nutpentreˆeela´lceucM(n) additions et mul-tiplications et si 4M(n/2)M(n) etM(2n)cM(n) pour uncet toutncalstoˆl,rolaure transitive se calcule enA(n) =O(M(n)) additions et multiplications. 4.Montrerquelesemi-anneaubool´eenB= ({0,1},,,0,1) n’est pas un anneau. log 72 5. SoitAetBdeux matricesn×nptuestcelaucbeoloelr´eeennes.LeproduinO(n(logn=) ) 2.82 O(neualsnqiuterlcoˆsbintions,aiairepo)are´tisiantr.ve
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