Exercice points

Description

BTN 2000 1 Btn 2000 Exercice 1 (8 points) Un hôtel dispose de 40 chambres soit avec bains soit avec douche. Toutes les chambres ne disposent pas de la télévision. La moitié des chambres avec bains ont la télévision. Les deux tiers des chambres sans télévision disposent d'une douche. Il y a un quart des chambres de cet hôtel qui disposent d'une douche mais pas d'une télévision. 1) Compléter le tableau ci-dessous : Avec télévision T Sans télévision T¯ Totaux Avec bain B Avec douche D Totaux 40 2) Une chambre est choisie au hasard parmi les 40 chambres de l'hôtel. Toutes les chambres ont la même probabilité d'être choisies. a. On note D l'événement : la chambre possède une douche. Montrer que P (D) = 0, 75. b. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : • T : la chambre possède la télévision ; • D ? T : la chambre possède une douche et la télévision. 3) Exprimer par une phrase claire chacun des événements suivants et en déterminer la probabilité : D¯ ; D¯ ? T ; D ? T¯ ; D¯ ? T¯ . Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien : Corrigé exercice 1 Exercice 2 (12 points) 1.

• corrigé de l'exercice


• d¯ ?


• points d'abscisses et d'ordonnées positives


• droites b1


• restaurateur dispose


• table ronde

Sujets

• Table ronde

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Extrait

BTN 2000 Btn 2000

1

Exercice 1 (8 points) Un hôtel dispose de40chambres soit avec bains soit avec douche. Toutes les chambres ne disposent pas de la télévision. La moitié des chambres avec bains ont la télévision. Les deux tiers des chambres sans télévision disposent d’une douche. Il y a un quart des chambres de cet hôtel qui disposent d’une douche mais pas d’une télévision. 1) Compléterle tableau cidessous :

Avec bainB

Avec doucheD

Totaux

Avec télévisionT

¯ Sans télévisionT

Totaux

40

2) Unechambre est choisie au hasard parmi les40chambres de l’hôtel.Toutes les chambres ont la même probabilité d’être choisies. a.On noteDl’événement : "la chambre possède une douche". Montrer queP(D) = 0,75. b.Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : •T;: "la chambre possède la télévision" •D∩T: "la chambre possède une douche et la télévision". 3) Exprimerpar une phrase claire chacun des événements suivants et en déterminer la probabilité : ¯ ¯¯ ¯¯ D;D∪T;D∪T;D∩T.

Pour voir le corrigé de l’exercice 1. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 1 Exercice 2 (12 points) 1. a.Dans un repère orthonormal où1cm représente une unité, construire les droites : D 1 : 2x+y= 10 D 2 : 4x+ 3y= 50 D 3 : 2x+y= 20 On se limitera aux points d’abscisses et d’ordonnées positives. b.Déterminer par un calcul les coordonnées du point d’intersectionIdeD 2 etD 3 . 2 2.Un restaurateur veut acheter, pour sa salle de restaurant d’une surface de100m , des tables rondeset des tables 2 carrées. Une table ronde permet de servir8couverts, occupe8coûtem et3000F. Une table carrée permet de servir 2 4couverts, occupe6m etcoûte1500F. Le restaurateur dispose d’un budget de30000F et veut servir au moins 40couverts. On notexle nombre de tables rondes etyle nombre de tables carrées qu’il veut acheter. a.Exprimer, à l’aide d’un système d’inégalités surxety, les contraintes imposées par l’énoncé. b.Déterminer graphiquement l’ensembleSdes points du plan dont les coordonnées(x, y)vérifient le système obtenu (on hachurera la partie du plan qui n’est pas solution). c.On suppose que les tables sont complètement occupées. Les tables rondes laissent alors chacune un bénéfice de 400F au restaurateur et les tables carrées chacune un bénéfice de250F. Exprimer en fonction dexetyle bénéfice totalB(x, y)en F réalisé.

2

3. a.Représenter les ensembles (droites)B 1 etB 2 obtenus pour un bénéfice respectivement de3500F et4500F. b.Peuton avoir un bénéfice de6000F ? c.Quel est le bénéfice maximal et quels sont alors les nombres de tables que le restaurateur doit acheter (on justifiera la méthode utilisée)?

Pour voir le corrigé de l’exercice 2. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 2

BTN 2000 Corrigé Btn 2000

Exercice 1 (8 points)

1) Ilfaut bien analyser les données :

Avec bainB

Avec doucheD

Totaux

Avec télévisionT

5

20

25

¯ Sans télévisionT

5

10

15

Totaux

10

30

40

10 ¯ ¯ Il y a équiprobabilité, les probabilités sont 3)•D: "la chambre n’a pas de douche" etP(D= 0) =,25. 40 donc obtenues en calculant le rapport : ¯ •D∪T: "la chambre a un bain ou la télévision" nombre de cas favorables 20 + 5 + 53 nombre de cas possibles ¯ P(D∪T) == =0,75 40 4 ¯ •D∪T: "la chambre a une douche ou n’a pas de télévision" 2) 30 a.P(D= 0) =,75. 40 20 + 10 + 57 ¯ P(D∪T0) == =,875. 25 5 40 8 b.P(T= =) =0,625. 40 8 ¯ ¯ •D∩T: "la chambre n’a pas de douche et pas de télévision" 20 P(D∩T) == 0,50. 5 1 40 ¯ ¯ P(D∩T0) == =,125. 40 8

3

4

Exercice 2 1. a.Représentation graphique pour tout l’exercice :

y

10

5

O

D 3

D 2

• I

solution graphique

D 1

B 1

5

b.Il faut résoudre :  4x+ 3y= 50(L 1 ) (S) 2x+y(= 20L 2 ) Par combinaisonL 1 −2L 2 on obtient presque directement la solution :  y= 10 (S) 2x+y= 20 S={10 )( 5 ;}. 2. a.Les contraintes de l’énoncé conduisent au système d’inéquations :  8x+ 4y>40   8x+ 6y6100 ′ (S ) 3000x+ 1500y630000 x>0   y>0

B 3

B 2

10 x

BTN 2000

on peut simplifier :

 2x+y>10   4x+ 3y650 ′ (S ) 2x+y620 x>0   y>0

b.Les méthodes d’analyse des demiplans conduisent à hachurer comme le montre la figure cidessus.

5

c.Le bénéfice en fonction dexetyest : B(x, y) = 400x+ 250y 3. a.400x+ 250y= 3500se simplifie :8x+ 5y= 70. C’est l’équation d’une droiteB 1 passant par :(5; 6)et(0; 14). 400x+ 250y= 4500se simplifie :8x+ 5y= 90. C’est l’équation d’une droiteB 2 passant par :(5; 10)et(0; 18).

b.Un bénéfice de6000F correspond à la droiteB 3 :8x+ 5y= 120. Il est impossible (voir graphique).

c.Les droitesB 1 ,B 2 etB 3 sont parallèles et la position maximale est celle deB 2 passant parI: il faut donc acheterx= 5ety= 10tables de chaque sorte pour un bénéfice de :400×5 + 250×10 = 4500F.