Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR L’INTEGRATION
1. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. n 1 n n = k = X 0 + β ( α et β > 0)  b n = k = X 1 nkn ak 1 n k sin kπd 1 2 k = X n 1 k exp nk c n = n 2 X 2 n  n = n k =1 2. Trouver la limite de la suite ( u n ) n 1 définie par n u n = X k 2 + 2 knn + n 2 k =1
3. Trouver la limite de la suite ( u n ) n 1 définie par n u n = 1 n X 1 k 1+ nk = 4. Trouver la limite de la suite ( u n ) n 1 définie par n k u n = k = X k 2 + n 2 1
5. Etablir les propriétés suivantes à l’aide de changements de variable simples. a) Si f une fonction continue de [ a b ] dans R , b b Z f ( x ) dx = Z f ( a + b x ) dx  a a b) Si f une fonction continue de [ 1 1 ] dans R , π 2 π 2 Z f (cos x ) dx = Z f (sin x ) dx  0 0 c) Si f une fonction continue de [ 1 1 ] dans R , π π π 2 Z xf (sin x ) dx = π 2 Z f (sin x ) dx = π Z f (sin x ) dx  0 0 0
1
π Application : calculer Z 1 x +scions x 2 dx . x 0 d) Si f une fonction continue de R dans R , et si f est impaire alors la fonction F définie par x F ( x ) = Z f ( t ) dt est paire. Si de plus f est T périodique, alors F est aussi T périodique. a π 2 α 6. a) Soit 0 < α < π 2 . Calculer Z sin t cos t ln(tan t ) dt . On posera x = π 2 t . α 1 a b) Soit 0 < a < 1 . Calculer Z ln ttdt . On posera x = 1 t . a 7. Soit u une fonction continue de R dans R . On pose, pour x réel, x 2 v ( x ) = Z u ( t ) dt  x +1 a) Montrer que v s’annule en au moins deux points de R . b) Donner un exemple d’une fonction u telle que v s’annule en exactement deux points de R . c) Calculer v ( x ) pour tout x de R . 8. Soit f une fonction continue sur R . Calculer la dérivée de la fonction F définie par x 2 F ( x ) = Z ( f ( t ) x ) 2 dt  2 x
9. Calculer la dérivée de la fonction F définie sur R par x 2 +1 F ( x ) = Z e t 2 dt  2 x 1
10. Soit F la fonction définie sur R par 2 x F ( x ) Z t 4 dt= + t 2 + 4 x a) Montrer que F est une fonction impaire. b) Montrer que la fonction F est dérivable puis calculer F ( x ) pour x réel et déterminer les zéros de F .
2