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EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
1.Soit deux fonctionsxetyde 1 les développements limités suivants :admettant au voisinage x(t) = 1 + (t1)(t1)22(t1)3+((t1)3) et y(t) =12(t1) + 2(t1)2+ (t1)3((t1)3)Donner l’allure de la fonctionf= (x y)au voisinage det= 1.
2.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) =t3+t2ety(t) =t3t2
3.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) =t2chtety(t) =t2sh(t1)
4.Etudier et représenter les courbes suivantes. Chercher en particulier les points doubles.
a)x= 2t3+ 3t2y= 3t4+ 4t3 b) tx t2y1=t2t = 1c)x 2= sint y 3= cost 5.Etudier et représenter la fonctionfdéfinie par f(t) =cso2isnttsin 2tOn montrera en particulier que, lorsquexest dérivable, on a cost(1 + 2 sin2t) x(t) =sin2t
6.a) Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par (t1t)e)y(t) = tant  xsoc(=t3 b) Le tracé de l’arc générateur montre qu’il coupe l’asymptote oblique d’équationy=x3. On cherche dans ce qui suit à déterminer ce point d’intersection.
1
b1) On poseu= tan(h3)0< h <3π2eth6=π2. Calculertanhetsin(h3)en fonction deu.
b2) Montrer que la détermination du nombrehcompris entre0et3π2, vérifiant 3π y2h=13x23πh
revient à résoudre l’équation : u486u2+ 57 = 0avec la condition :13< u <3. b3) On poseP(X) =X286X+ 57. Etudier le signe deP(3)et deP(13). En déduire que la valeur deucherchée vaut43167.
7.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) = cost+ sin2tety(t) = cos 3tsint  Déterminer en particulier, les points d’intersection avec les axes et le point double.
8.Etudier et représenter les courbes paramétrées définies par a)x(t) = sin 2tety(t) = sin2t(1110 sin2t) b)x(t) = sin32tety(t) = sin2t(1110 sin2t)
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Corrigé des exercices
1.SiM(t)a pour coordonnées(x(t) y(t))les coordonnées deM(1)sont(11)et si l’on pose U1=i2j  U2=i+ 2j  U3=2i+j  on a la relation vectorielle M(1)M(t) = (t1)U−→1+ (t1)2U−→2+ (t1)3U3+((t1)3)CommeU−→2=U−→1, les vecteursU1etU2sont colinéaires, et le comportement deM(1)M(t)est celui de(t1)U−→1+ (t1)3U−→3. On va donc obtenir un point d’inflexion. t <1 −→  ✲ −→O−→ı U3 M(1)
t >1
−→ U1
2.Réduction du domaine d’étude Les fonctionsxetysont définies surR. L’application :Φ1:t7→ −test une bijection de I1 0= [+[surI1= ]−∞0 ], et l’on a x(t) =y(t)et donc également y(t) =x(t)La courbe est symétrique par rapport à la deuxième bissectrice. On l’étudie surI1, et on com-plètera par la symétrieS1par rapport à la deuxième bissectrice. 3
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