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Exercicessurlesint´egralesge´n´eralis´ees
1. Calculerlesine´gralesg´en´eralis´eessuivantes: ∞ ∞ 1 a ) Z (1 + e x ) d ( x 1 + e x ) b ) Z e x x dx c ) Z ln x dx 0 0 0 1 d ) Z ln x 2 xdxe ) Z (1l+n xx ) 2 dx f ) Z x n e x dx ( n N ) 1 0 0 ∞ ∞ π 2 ) Z arcta x n 2 xdxh ) Z x ( xdx + r )( a > 0  r > 0) i ) Z cossi2n x 2 dxx g 1 + 0 a 0 2. Montrerquelesint´egralessuivantesconvergent: π 2 ∞ ∞ a ) Z 1 x e x 2 + x +1 dx b ) Z ln(1 + sin x ) dx c ) Z e t 2 dt d ) Z 11++sin t 3 tdt0 π 2 0 0
3. D´eterminerpourquellesvaleursducouple( α β ) R 2 lesint´egralessuivantessontconver-gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples ( α β ) pour lesquels il y a convergence). ∞ ∞ ∞ a ) Z x α (1 dx + x β ) b ) Z ln(1 x + β x α ) dx c ) Z (1 + tt ) βα t α dt  0 0 0 4. Etudier pour quelles valeurs de n N linte´grale I ( n ) = Z ln x n xdx converge et calculer I ( n ) 1 dans ce cas. 5. Soit I ( λ ) = Z dx ) . Montrer que I ( λ )convergepourtoutr´eel λ et calculer (1 + x 2 )(1 + x λ 0 cette int´ al n utilisant le changement de variable t = 1 x . egr e e 6. Soit I = Z e t 2 t dt e . t 0 a) Montrer que I est convergente. 2 ε b) Pour ε > 0,´etablir,enposant x = 2 t , la relation Z e t te 2 t dt = Z et t dt  ε ε c)End´eduirelavaleurde I . π 2 7. Soit J = Z ln sin x dx . 0
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