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´METHODES ANALYTIQUES - EXERCICES
Disque de turbomachine
Nous souhaitons dimensionner un disque de compresseur de turbomachine
en r´egime permanent (vitesse de rotation angulaire constante !, figure 1).
Pour cela, nous travaillons en coordonn´ees cylindriques (r; ;z ). Le mat´eriau
est suppos´e´elastique lin´eaire, isotrope, avec les constantes d’´elasticit´e ‚ et „
(coefficients de Lam´e) et une masse volumique ‰. Pour simplifier les calculs,
le champ de d´eplacements (u;v;w) dans le disque est suppos´e de la forme
u=u(r), v =0, w =0. On n´eglige donc la r´eduction d’´epaisseur du disque.
z
r
R
h
Fig. 1 – Sch´ematisation du probl`eme
– Donner l’expression des tenseurs des d´eformations et des contraintes
´– Ecrire l’´equilibre du disque en fonction du champ de d´eplacements
3– Montrerqu’unchampdutypeu(r)=ar +brlessatisfait,etd´eterminer
les constantes a et b
1
w– En utilisant la contrainte ´equivalente de Tresca, et en notant ? sa0
valeur limite (avant plastification), d´eterminer le rayon maximal ad-
missible du disque
– Parmilesmat´eriauxpropos´esci-dessous,s´electionnerceluiouceuxper-
mettantunfonctionnement`aunevitessede50000tr=mnavecunrayon
de 160mm.
3mat´eriau ‰(kg=m ) ” ? (MPa)0
INCO625 7800 0,3 900
TA6V 5500 0,34 700
Al 7075 2800 0,32 500
Tenue m´ecanique d’un bouchon
Nous souhaitons´etudier la tenue m´ecanique d’un bouchon cylindrique intro-
duitdansunebouteillesuppos´eeinfinimentrigide.Pourcela,nousutilisonsla
sch´ematisation de la figure 2 et nous travaillons en coordonn´ees cylindriques
(r; ;z ). Le mat´eriau constituant le bouchon est suppos´e ´elastique lin´eaire,
isotrope, avec les constantes d’´elasticit´e ‚ et „ (coefficients de Lam´e). Le
champ de d´eplacements (u;v;w) dans le bouchon est suppos´e de la forme
u=u(r), v =0, w =w(r;z).
z
R
H
r
pression P
Fig. 2 – Sch´ematisation du probl`eme
– Exprimer le tenseur des d´eformations †, le tenseur des contraintes ?,
et les ´equations d’´equilibre du bouchon, en fonction des d´eplacements
(u;v;w)etdeleursd´eriv´eespartielles(nonnulles).Montrerqu’unchamp
2ded´eplacementsdelaformesuivante(ou` A;B;C;Dsontdesconstantes)
satisfait ces ´equations d’´equilibre:
8
ru=A< R
v =0 (1)
: 2„B 2 2 zw = (r ¡ z )+C +D2R ‚+2„ H
– ExprimerlesconstantesB etC enfonctiondeA;P;R;H;‚;„enutilisant
les conditions aux limites en pression sur les faces z = 0 (pression P
dans la direction z) et z =H (pression nulle dans la direction z).
– Donner l’expression de la constante A `a l’aide de la condition aux li-
mites en d´eplacement suivante: un d´eplacement u =¡– en r = R est
impos´e (le bouchon est emmanch´e de force dans la bouteille!!).
– Donner l’expression compl`ete du tenseur des contraintes. Expliquer
pourquoi ce tenseur ne d´epend pas de la constante D, et comment
celle-ci pourrait ˆetre obtenue.

– Donnerl’expressionduvecteurcontrainte t exerc´eparlabouteillesur
la face r = R du bouchon (voir figure 3). En d´eduire les contraintes
normale ? et tangentielle ? appliqu´ees sur cette face.n t
z
n
t
t
r
Fig. 3 – Sch´ematisation du probl`eme
– Ce vecteur contrainte pourra ˆetre exerc´e par la bouteille tant que le
?trapport n’exc´edera pas le coefficient de frottement m de l’interface
?n
bouteille-bouchon. En d´eduire la pression P limite `a partir de laquelle
le bouchon sortira.
– Calculer cette pression limite pour H =30mm, R =10mm, – =1mm,
‚=0, „=6MPa et m=0;1.
3
ssFrettage cylindrique
Le ”frettage cylindrique” consiste `a emmancher deux formes axisym´etriques
l’une dans l’autre, la forme int´erieure ayant auparavant un diam`etre externe
sup´erieur au diam`etre interne de la forme ext´erieure. On parle alors d’em-
manchement ”serr´e”. Dans ce travail, nous nous int´eresserons simplement
auxcons´equencesdufrettage,sansnoussoucierdumoded’assemblage(ther-
mique ou m´ecanique). L’objectif est de calculer les champs de contraintes,
ded´eformation,etlesd´eplacementsdansdesassemblagescylindriquesfr´et´es.
Nousallonstraiterlecasdufrettaged’untubesuruncylindreplein,telqu’il
est d´ecrit dans la figure .
materiau 1
materiau 2
R 1
R 2
Dans tous les calculs, nous nous placerons en coordonn´ees cylindriques et
dansl’hypoth`esedespetitesperturbations.Deplus,nousn´egligeronslepoids
propre et les effets d’acc´el´eration, et nous supposerons que les mat´eriaux
fr´et´essonthomog`enes,etontlemˆemecomportement´elastiqueisotrope(nous
noterons ‚ et „ leurs coefficients de Lam´e). Enfin, le champ de d´eplacements
(u;v;w )`al’int´erieurdechaquemat´eriauiserasuppos´eradialetdelaformei i i
suivante:
8
u =u (r)< i i
v =0 (2)i
:
w =0i
(i)– Donner les composantes du tenseur des contraintes ? et du tenseur
(i)des d´eformations † dans le mat´eriau i, en fonction de u et de sesi
d´eriv´ees successives. En d´eduire les ´equations d’´equilibre dans chaque
mat´eriau formul´ees en d´eplacements.
4

!
d

!
















































































































































!

















































































– Trouveruneformeanalytiquedeu (r),d´ependantdedeuxconstantesai i
et b , satisfaisant les´equations d’´equilibre obtenues. Pour cela, int´egreri
les ´equations d’´equilibre en effectuant un changement de variable t =i
ln(u ).i
– En notant – l’´ecart entre les rayons initiaux de deux formes fr´et´ees 1
(int´erieure) et 2 (ext´erieure), montrer que les d´eplacements u et u1 2
satisfont la condition u ¡u =– au niveau de l’interface. La quantit´e2 1
– est appel´ee ”serrage”.
– A l’interface entre deux formes fr´et´ees 1 et 2, ´ecrire la continuit´e de la
contrainte normale, et montrer que cette continuit´e se traduit par la
(1) (2)
condition ? =? .rr rr
– Appliquerlesconditionsauxlimitesaucentre,a`l’interfaceet`al’ext´erieur
pour d´eterminer les quatre constantes a ;b ;a ;b . Exprimer ensuite1 1 2 2
les champs de d´eplacement, de contraintes et de d´eformation dans les
mat´eriaux fr´et´es en fonction des rayons R et R , du serrage –, et des1 2
coefficients de Lam´e.
– Dessiner l’´evolution des contraintes ? , ? et ? le long du rayon derr ?? zz
l’assemblage. En d´eduire la contrainte ´equivalente de Tresca ? dans Dessiner son ´evolution le long du rayon de l’assemblage.
Donner la position dans l’assemblage ou` la plastification du mat´eriau
apparaˆıtra en premier.
Tube sous pression
On consid`ere un tube d’axe Oz, infiniment long, de rayon int´erieur r , de0
rayonext´erieurr .Ontravailleraencoordonn´eescylindriquesr; ;z .Lemat´eriau1
est suppos´e avoir un comportement´elastique isotrope caract´eris´e par ses co-
efficients de Lam´e ‚ et „. La face int´erieure est soumise `a une pression p ,0
celle de l’ext´erieur a` une pression p .1
– Justifierlechoixd’unchampded´eplacementsu;v;wtelqueu=u(r);v =
0;w =0(champradial).End´eduirel’expressiondutenseurdesd´eformations
et du tenseur des contraintes en fonction de u et de ses d´eriv´ees par
rapport `a r.
– R´esoudre le probl`eme en d´eplacements en ´ecrivant l’´equilibre statique
bdusyst`eme.Montrerqu’unchampded´eplacementsdutypeu(r)=a+
r
satisfait cet ´equilibre.
5– R´esoudre le probl`eme en contraintes en ´ecrivant l’´equilibre statique du
syst`eme.Utiliserlechampded´eplacementsobtenupr´ec´edemmentpour
estimer une forme de champ de contraintes.
´– Ecrire les conditions aux limites pour d´eterminer les constantes a et
b en fonction des caract´eristiques du mat´eriau et de la g´eom´etrie du
syst`eme.
Dans la suite, nous supposerons que p =0 (pas de pression externe).1
– Exprimerlescomposantesdutenseurdescontraintes,puislacontrainte
´equivalente de Tresca (que l’on notera ?), en fonction de la pression
interne dans le tube, des caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau, et de
la g´eom´etrie. Tracer l’´evolution de ? dans la paroi du tube.
– En utilisant un crit`ere bas´e sur la contrainte ´equivalente de Tresca, et
en notant ? la limite d’´elasticit´e du mat´eriau, d´eterminer la pression0
internemaximalep pourlaquelleiln’yapasdeplastificationlocale.max
Calculer p pour ? =200MPa, r =100mm et r =120mm.max 0 0 1
Ballon de football
Un ballon de football est gonfl´e `a une pression P. On note R son rayon
interne et e son ´epaisseur. Le mat´eriau constituant le ballon est suppos´e ho-
mog`ene, ´elastique lin´eaire et isotrope (‚ et „ sont ses coefficients de Lam´e).
Onseplacedansl’hypoth`esedespetitesperturbations.Onn´egligelapression
atmosph´eriqueetlepoidspropredumat´eriau.Onutiliseunsyst`emedecoor-
donn´ees sph´eriques r; ;` , dans lequel on suppose un champ de d´eplacements
radial u=u(r);v =0;w =0.
e
R
r
pression P
– Exprimer le tenseur des d´eformations et le tenseur des contraintes en
fonction de u, de ses d´eriv´ees successives, et des coefficients de Lam´e.
6– Exprimerl’´equilibrestatiquesouslaformed’une´equationdiff´erentielle
2en u(r). Montrer qu’un champ de la forme u=Ar+B=r satisfait cet
´equilibre (A et B sont des constantes).
– Utiliserlesconditionsauxlimitesenpressionpourd´eterminerlesconstantes
A et B. En d´eduire un expression compl`ete des contraintes.
– en notant – = r¡R, montrer que la contrainte radiale s’exprime sous
la forme¡P(1¡–=e) lorsque e<<R.
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