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PSI Brizeux
P H Y S I Q U ED E SO N D E SEXERCICES1PO11: Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 massesmaux accrochées extrémités dune tige quon supposera de masse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsionC. Note :moment du couple de rappel exercé par un fil de le constante de torsionC surun pendule vaut:"=#C$, siθ est langle dont a tourné le pendule par rapport à sa position fil de torsio déquilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. ième Hors équilibre, on appelleθk langledont a tourné le k pendule. 1°)Déterminer léquation différentielle vérifiée parθk. 2°) Enfaisant lapproximation des milieux continus, on pourra poserθk =θ(z,t). Montrer que léquation différentielle vérifiée parθ(z,t) vérifie une équation de dAlembert . 3°)De quelle forme sont les solutions générales de cette équation ? 4°)On suppose que les deux extrémités de léchelle sont fixes. Montrer quil est possible de trouver des solutions à cette équation de la formeθ(z,t) =f(z)g(t). Déterminer les fonctionsfetgqui conviennent et faire apparaître les modes propres de léchelle. z
a
m
m
l Lextrémité basse peut être excitée à différentes fréquences réglables à laide dun petit moteur. Lors de manipulations avec léchelle de perroquet dont lextrémité supérieure est bloquée, on trouve les résultats suivants : 2 fuseaux 1/2 pour 15 hz ; 3 fuseaux 1/2 pour 20 Hz ; 4 fuseaux 1/2 pour 26 Hz. 5°)Montrer que ces résultats sont cohérents entre eux 6°)auraient les fréquences des premiers modes propres si lextrémité supérieure de léchelle Quelles avait été laissée libre ?