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PSI MATHEMATIQUES
Mai 2011
PrÉparation À l’oral
Planche 1 Exercice 1: SoitE=IRn[X]. On considÈre l’application ϕ:EIR R 1P(t) P72dt 1 1+t Soient(x0, x1,∙ ∙ ∙, xn)n+ 1rÉels distincts. DÉmontrer qu’il existen+ 1rÉels uniques(a0, a1,∙ ∙ ∙, an), tels que :PE, ϕ(P) = n X akP(xk). k=0 Donner une mÉthode « pratique» de calcul desai. Exercice 2: Z Z x1 ln(1t)lnt 1) Montrer que, pour0< x <1,f(x) =dt=dt. 0t1x1t + +X X 2 22 1π(1 1ln2)π 2) En admettant que=, montrer quef==. 2n2 n26 2n2 12 n=1n=1 3) A l’aide du dÉveloppement en sÉrie de Fourier de la fonction2πpÉriodique conci-dant avec l’identitÉ sur[π, π], montrer le rÉsultat prÉcÉdemment admis. Planche 2 Exercice 1: On dÉfinit la suite de fonctions(fn)nINpar : p x[0,1], f1(x2 + 2) =xetnfIN ,n+1(x2 +) =fn(x). 1. Etablir que :x[0,1],(fn(x))nINest croissante, majorÉe par 2 et minorÉe par 2. 2. Etablir la convergence simple de(fn(x))nINsur[0,1]. Z 1 dx 3. Etudier la suite(an)nINan=r. q 0p 2 +2 +∙ ∙ ∙+ 2+ 2x Exercice 2: √ √ SoitPla courbe d’Équationx+y= 1. π4 4 1. Justifier qu’il existeθ[0,],x(= cosθ), y= sin(θ). 2 2. Montrer quey=xest un axe de symÉtrie pourP.   1 1 3. Trouver une Équation cartÉsienne dePdans le repÈre(O, I, J)I= 2 1   11 etJ=. 2 1 4. En dÉduire nature, construction et longueur deP.
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