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PSI MATHEMATIQUES
Mars 2012
Feuille d’Exercices ComplÉments dans les Espaces euclidiens Groupe orthogonal RÉduction des endomorphismes autoadjoints Coniques-Quadriques
1 ComplÉmentsdans les espaces euclidiens Exercice 1: SoitA= (aij)i,j∈ Mn(IR)avec : Z π 2 aij= sin(ix) sin(jx)dx 0 Montrer quedetA >0. Exercice 2: Montrer que : f(Mn(IR)),!F∈ Mn(IR),X∈ Mn(IR), f(X) = tr(F X)
Exercice 3: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =x > b< a,x > a< b,. DÉterminerϕ.
Exercice 4: SoitEun espace euclidien. Montrer quef∈ L(E),
∗ ⊥ KerfmI(=f) ∗ ⊥ Imf= (Kerf) Kerff= (Kerf) ∗ ∗ Imffm=(If)
t Exercice 5: SoitE=Mn,p(IR)muni du produit scalaire(X, Y)tr(XY). t PourAfixÉe dansE, soitΦA:EE, X7A XA. Montrer queΦAest un endomorphisme autoadjoint deE.
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