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Solutions des Exercices du cours de Theorie de l'Information et Codage cours du fevrier

4 pages
Solutions des Exercices du cours de Theorie de l'Information et Codage cours 1 du 8 fevrier 2011. 1. Dans le cas R = 1/2n, avec n ? N et pour un encodage du type: repetition de chaque bit 2n fois sur le canal binaire symmetrique: donner une strategie de decodage et calculer la probabilite d'erreur correspondante Pe. Comparer au cas R = 1/(2n? 1) etudie en cours quand p ? 0. • Decodage par majorite, en cas d'egalite, tirage a pile ou face. Pe = ∑ k≥n+1 ( 2n k ) pk(1? p)2n?k + 1 2 ( 2n n ) pn(1? p)n. • quand p? 0, on a Pe ? (2n?1 n ) pn qui correspond au cas etudie en cours. 2. On considere le cas R = 2n + 1 pour n ? N et l'encodage: j'envoie la majorite de chacun des blocs de 2n+1 bits successifs emis par la source (comme decrit en cours pour R = 3). Montrer que Pe = (1? p)Q+ p(1?Q) avec Q = 1 2 ? ( 2n n ) 2?(2n+1).

  • triplets de colonnes liees

  • meme probabilite d'erreur pe

  • bit

  • probabilite d'erreur correspondante

  • probabilite

  • strategie de decodage

  • colonnes complementaires du motif d'erreur

  • majorite

  • motif d'erreur


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Correctiondesexercicesducours:StructuresetAlgorithmesAle´atoires cours 1 du 16 octobre 2009. 1.Vousavez3pi`ecesdontuneestbiaise´e:voussavezquelletombesurpileavecprobabilite´2/3. Vousnesavezpasquellepie`ceestbiaise´emaisvousfaitesuntirageavecchacunedespie`ceset lapremie`reetsecondepie`cestombentsurpiletandisquelatroisie`metombesurface.Quelle estlaprobabilite´quelapremi`erepie`cesoitcellequiestbiaise´e? SoitEine´entmelev´l:aiteee´siuiestbiastcelleqpe`iceee`meBgeratilet:enemne´ve´l destroispie`cesdonnedanslordre:pilepileface.Avantletirage,nousnavonsaucune informationsurlapie`cebiais´eedoncP(Ei) = 1/avons aussi3. Nous 2 1 11 1 P(B|E1) =P(B|E2=) =,et,P(B|E3) =. 3 2 26 12 On a donc P(B|E1)P(E1) 2 P(E1|B) =P=. 3 P(B|Ei)P(Ei) 5 i=1 Apre`slare´alisationdutirage,lavraisemblancepourquelapremie`repie`cesoitcellequi estbiais´eeestpass´eede1/3`a2/5. 2. Dansle cas vu en cours de la multiplication matricielle.Sans information surA, B, C, on fait lhypothe`seaprioriqueP(AB=C) = 1/fait tourner une fois l’algorithme vu en cours2. On quinousretourneler´esultat:AB=Clellelienefsotrlmttaetnioounvqeui.l´vtAceeecpaorabib aposterioriquelidentite´soitcorrecte?Etapr`eskit´ee?hmitglroleanodsarit uaacps´rcee´edtn.SoitnesoaierLerialimistsetnemEl´ev´enem:tnedilitneee´tcostecrr.te etFnemee´´vllane:tthmegoriurneretolAB=C. Oncommence avecP(E) =P(E) = 1/2. De plus,P(F|E) = 1 tandis queP(F|E)1/aOn).eucnuosrseluatvtr`esler´2(dap donc P(F|E)P(E) 2 P(E|F) =. P(F|E)P(E) +P(F|E)P(E) 3 Apre`slepremiertest,onsupposemaintenantqueP(E)2/3 etP(E)1/3, on a donc apres un second test: 2/3 4 P(E|F)=. ˙ 2/3 + 1/31/2 5 Ontrouveapr`eskeratit´ions 1 P(E|F)1. k 2 +1
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