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Correctiondesexercicesducours:StructuresetAlgorithmesAle´atoires cours 1 du 16 octobre 2009. 1.Vousavez3pi`ecesdontuneestbiaise´e:voussavezquelletombesurpileavecprobabilite´2/3. Vousnesavezpasquellepie`ceestbiaise´emaisvousfaitesuntirageavecchacunedespie`ceset lapremie`reetsecondepie`cestombentsurpiletandisquelatroisie`metombesurface.Quelle estlaprobabilite´quelapremi`erepie`cesoitcellequiestbiaise´e? SoitEine´entmelev´l:aiteee´siuiestbiastcelleqpe`iceee`meBgeratilet:enemne´ve´l destroispie`cesdonnedanslordre:pilepileface.Avantletirage,nousnavonsaucune informationsurlapie`cebiais´eedoncP(Ei) = 1/avons aussi3. Nous 2 1 11 1 P(B|E1) =P(B|E2=) =,et,P(B|E3) =. 3 2 26 12 On a donc P(B|E1)P(E1) 2 P(E1|B) =P=. 3 P(B|Ei)P(Ei) 5 i=1 Apre`slare´alisationdutirage,lavraisemblancepourquelapremie`repie`cesoitcellequi estbiais´eeestpass´eede1/3`a2/5. 2. Dansle cas vu en cours de la multiplication matricielle.Sans information surA, B, C, on fait lhypothe`seaprioriqueP(AB=C) = 1/fait tourner une fois l’algorithme vu en cours2. On quinousretourneler´esultat:AB=Clellelienefsotrlmttaetnioounvqeui.l´vtAceeecpaorabib aposterioriquelidentite´soitcorrecte?Etapr`eskit´ee?hmitglroleanodsarit uaacps´rcee´edtn.SoitnesoaierLerialimistsetnemEl´ev´enem:tnedilitneee´tcostecrr.te etFnemee´´vllane:tthmegoriurneretolAB=C. Oncommence avecP(E) =P(E) = 1/2. De plus,P(F|E) = 1 tandis queP(F|E)1/aOn).eucnuosrseluatvtr`esler´2(dap donc P(F|E)P(E) 2 P(E|F) =. P(F|E)P(E) +P(F|E)P(E) 3 Apre`slepremiertest,onsupposemaintenantqueP(E)2/3 etP(E)1/3, on a donc apres un second test: 2/3 4 P(E|F)=. ˙ 2/3 + 1/31/2 5 Ontrouveapr`eskeratit´ions 1 P(E|F)1. k 2 +1
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