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Th´eoriedelInformationetCodage:Fichedexercices3 a`rendrea`MadameDelaispourle9mai2012.
Instructions:ti.eiSovmenasurce´echi`usavezr´srulpaueisrcmecuhaaci`rdnerednipocenue surunprobl`eme,mettezlesnomsdevoscollaborateurs.
Probl`eme1:(5points) Nousallonsmontrerler´esultatsuivant:onconside`reuncanalbinairesyme´triquedecapacit´eC= Rn 1H(ptoute suite de codes de longueurs). PournayantM=2oceedomstibab´tilnuteorpe P M(i) n1n d’erreur moyenneP=P, siR > CalorsP1 quandn→ ∞. E Mi=1E E Soite <1. Pourtoutn´end,ontirnle plus petit entier tel que:   rn X n j nj p(1p)1e. j j=0 (i) M Onconside`reun(M, n)code avec maxPe. i=1E P rn1n n 1. MontrerqueM <2 . j=0j 2. Montrerque pour toutδ >0, pournsuffisament grand, on arnn(pδ). n(C+ǫ) 3. Enconclure que pour toutǫ >0 et pournsuffisament grand,M2 . 4.D´emontrerlere´sultatvoulu,cest`adirequelerreurmoyennedoitapprocher1.
Probl`eme2:Canalavecme´moire(4points) Onconsid`ereuncanalbinairesyme´triqueavecYi=XiZiou`est l’addition modulo 2 etXi, Yi{0,1}. LesZ1, Z2, . . .endad´epntin´emeofcrptsasenontruotuomstnpsian1, (Z1, . . . , Zn) est inde´pendantde(X1, . . . , Xn). 1. Onsuppose queP(Zi= 1) =p= 1P(Zi= 0).SoitC= 1H(p). Montrerque maxI(X1, . . . , Xn;Y1, . . . , Yn)nC. PX ,...,x n 1
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