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Theorie de l'Information et Codage: Fiche d'exercices a rendre a Madame Delais pour le mai

3 pages
Theorie de l'Information et Codage: Fiche d'exercices 3 a rendre a Madame Delais pour le 9 mai 2012. Instructions: merci a chacun de rendre une copie manuscrite. Si vous avez reflechi a plusieurs sur un probleme, mettez les noms de vos collaborateurs. Probleme 1: (5 points) Nous allons montrer le resultat suivant: on considere un canal binaire symetrique de capacite C = 1 ?H(p). Pour toute suite de codes de longueurs n ayant M = b2Rnc mots code et une probabilite d'erreur moyenne P nE = 1M ∑M i=1 P (i) E , si R > C alors P nE ? 1 quand n ? ∞. Soit e < 1. Pour tout n, on definit rn le plus petit entier tel que: rn ∑ j=0 (n j ) pj(1? p)n?j ≥ 1? e. On considere un (M,n)-code avec maxMi=1 P (i) E ≤ e. 1. Montrer que M ∑rn?1 j=0 (n j ) < 2n. 2. Montrer que pour tout ? > 0, pour n suffisament grand, on a rn ≥ n(p? ?). 3. En conclure que pour tout > 0 et pour n suffisament grand, M ≤ 2n(C+).

  • erreur entre moyenne

  • probabilite d'erreur moyenne

  • prisonniers

  • chance de survie des prisonniers

  • matrice de hadamard de taille

  • convention ? au lieu de ?1

  • code


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Th´eoriedelInformationetCodage:Fichedexercices3 a`rendrea`MadameDelaispourle9mai2012.
Instructions:ti.eiSovmenasurce´echi`usavezr´srulpaueisrcmecuhaaci`rdnerednipocenue surunprobl`eme,mettezlesnomsdevoscollaborateurs.
Probl`eme1:(5points) Nousallonsmontrerler´esultatsuivant:onconside`reuncanalbinairesyme´triquedecapacit´eC= Rn 1H(ptoute suite de codes de longueurs). PournayantM=2oceedomstibab´tilnuteorpe P M(i) n1n d’erreur moyenneP=P, siR > CalorsP1 quandn→ ∞. E Mi=1E E Soite <1. Pourtoutn´end,ontirnle plus petit entier tel que:   rn X n j nj p(1p)1e. j j=0 (i) M Onconside`reun(M, n)code avec maxPe. i=1E P rn1n n 1. MontrerqueM <2 . j=0j 2. Montrerque pour toutδ >0, pournsuffisament grand, on arnn(pδ). n(C+ǫ) 3. Enconclure que pour toutǫ >0 et pournsuffisament grand,M2 . 4.D´emontrerlere´sultatvoulu,cest`adirequelerreurmoyennedoitapprocher1.
Probl`eme2:Canalavecme´moire(4points) Onconsid`ereuncanalbinairesyme´triqueavecYi=XiZiou`est l’addition modulo 2 etXi, Yi{0,1}. LesZ1, Z2, . . .endad´epntin´emeofcrptsasenontruotuomstnpsian1, (Z1, . . . , Zn) est inde´pendantde(X1, . . . , Xn). 1. Onsuppose queP(Zi= 1) =p= 1P(Zi= 0).SoitC= 1H(p). Montrerque maxI(X1, . . . , Xn;Y1, . . . , Yn)nC. PX ,...,x n 1
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