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UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN

16 pages
UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN GWENAEL MASSUYEAU Resume. Cette note, informelle et imprecise, accompagne un expose donne durant la « Journee Geometrie, Topologie et Physique » a Strasbourg, le 28 Fevrier 2008. Nous introduisons les invariants de Dijkgraaf–Witten et nous donnons leur formule par somme d'etats. Table des matieres 1. Introduction 1 2. Quelques rappels de cohomologie des groupes 2 3. Invariants de DW en petite dimension 5 4. Formule par somme d'etats pour les invariants de DW 7 5. Quelques proprietes des invariants de DW 10 6. Des invariants quantiques de Witten aux invariants de DW 11 7. Pour aller plus loin . . . 14 References 15 1. Introduction Soit G un groupe fini et soit K(G, 1) un espace d'Eilenberg–MacLane. Ainsi, K(G, 1) est l'espace topologique pointe (unique a equivalence d'homotopie pres) satisfaisant pi1(K(G, 1), ) = G et pii(K(G, 1), ) = 0 pour i > 1. On choisit aussi ? ? Hd(G; U(1)) = Hd(K(G, 1); U(1)). Definition 1.1. SoitM une d-variete fermee, orientee et connexe. L'invariant de Dijkgraaf– Witten de M , relatif a la classe de cohomologie ?, est Z?(M) := |G| ?1 ∑ ??Hom(pi1(M,),G) ? ?, (f?)

  • invariants de dijkgraaf–witten

  • complexe standard

  • resolution projective de z

  • fibration de fibre discrete

  • fibre de coefficients defini par l'anti-homomorphisme de groupes pi1

  • retraction lineaire par morceaux

  • classe fondamentale

  • invariants quantiques de witten

  • groupe fini


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UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN ´ ¨ GWENAEL MASSUYEAU
R´esum´e. Cettenote,informelleetimpr´ecise,accompagneunexpose´donne´durant la « JourneeG´eome´trie,TopologieetPhysique » `aStrasbourg,le28F´evrier2008. ´ Nous introduisons les invariants de Dijkgraaf–Witten et nous donnons leur formule parsommed´etats.
Tabledesmati`eres 1. Introduction 2. Quelques rappels de cohomologie des groupes 3. Invariants de DW en petite dimension 4.Formuleparsommede´tatspourlesinvariantsdeDW 5. Quelques propri´t´s des invariants de DW e e 6. Des invariants quantiques de Witten aux invariants de DW 7. Pour aller plus loin . . . R´ef´erences
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1. Introduction Soit G un groupe fini et soit K( G 1) un espace d’Eilenberg–MacLane. Ainsi, K( G 1) estlespacetopologiquepointe´(uniquea`e´quivalencedhomotopiepre`s)satisfaisant π 1 (K( G 1) ) = G et π i (K( G 1) ) = 0 pour i > 1 . On choisit aussi α H d ( G ; U(1)) = H d (K( G 1); U(1)) . De´nition 1.1 . Soit M une d -varie´te´ferm´ee,oriente´eetconnexe.Linvariant de Dijkgraaf– Witten de M ,relatifa`laclassedecohomologie α , est Z α ( M ) := | G | 1 Xα ( f γ ) ([ M ]) C . γ Hom( π 1 ( M, ) ,G ) Ici, M est un point base et f γ : M K( G 1)estlapplicationpointe´e(unique`a homotopiepre`s)telleque( f γ ) = γ au niveau du π 1 ( ) : ces choix ne comptent pas. Malgre´leurd´enitiontre`ssimple,lesinvariantsdeDijkgraafWittennont´ete´for-mule´squer´ecemment.Ilssemblenteˆtreapparuspourlapremie`refoisen1990dans l’article [7], pour servir de « toy examples » aux invariants quantiques de Witten [20].
Date : 26 F´ rier 2008. ev
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