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Universite de Nice SL2M Algebre

9 pages
Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Espaces euclidiens, orthogonalite, longueur. Moindres carres. On travaille avec le corps des reels, note R. Pour tout entier naturel n, on considere l'ensemble des n-uplets de reels que l'on designe par Rn : ainsi, un element ~x de Rn est une famille de reels (x1, x2, . . . , xn). Noter que R0 ne contient qu'un element, la famille vide, que l'on note 0. L'ensemble R1 se ramene a R. On appelle souvent ~x un vecteur en reference a la structure d'espace vectoriel sur Rn. (Voir 10.1 pour la definition de cette structure). 1. Produit scalaire dans Rn. Etant donnes deux vecteurs ~x et ~y de Rn, on considere le nombre reel x1y1 + . . . + xnyn = n∑ i=1 xiyi que l'on appelle produit scalaire de ~x et ~y et que l'on note ?~x | ~y?. On verifie tres facilement les proprietes suivantes : pour tous ~x, ~x?, ~x”, ~y, ~y?, ~y” de Rn, pour tout ? scalaire reel, on a (1) Le produit scalaire est bilineaire ?~x? + ~x?? | ~y? = ?~x? | ~y?+ ?~x?? | ~y? ?~x | ~y? + ~y??? = ?~x | ~y??+ ?~x | ~y??? ??

  • produit scalaire

  • inegalite de cauchy-schwarz

  • rn ?rn ??

  • famille libre

  • restriction de ?

  • projection orthogonale


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Universit´edeNice 2009-10
SL2M Alg`ebre2
Espaceseuclidiens,orthogonalit´e,longueur. Moindrescarre´s. On travaille avec lecorpson´teed,slee´rsR. Pour tout entier naturelnleresnesnoce`di,onlemb n n desnno´deulleqsree´rnepaesigpl-usdetRtneme´le´nu,iains:~xdeRest unefamille de 0 r´eels(x1, x2, . . . , xn). Noter queR.0etoe,idevllnnoelque´´lmene,talafimnecontientquun 1 L’ensembleRam`eserne`aR. n On appelle souvent~xunvecteurstlactruener`acerne´fe´rielsurcaveceotrudeepsR. (Voir 10.1 pourlade´nitiondecettestructure).
n 1.Produit scalaire dansR. n ´ Etantdonn´esdeuxvecteurs~xety~deRsionnc,oenelerd`e´rerbmole n X x1y1+. . .+xnyn=xiyi i=1 que l’on appelleproduit scalairede~xety~et que l’on noteh~x|y~ivne´O.seltneilemsfactr`erie 0 0n proprie´t´essuivantes:pourtous~x,~x,~x”,~y,~y,~y” deR, pour toutλalacrerisel´ena,o (1)iae´nilieralLscriotedputbesreai 0 00 0 00 h~x+~x|~yi=h~x|~yi+h~x|~yi 0 00 0 00 h~x|y~+~yi=h~x|~yi+h~x|y~i hλx~|~yi=λh~x|~yi h~x|y~λi=λh~x|~yi (2).ueiqtr´eymtseLserialacstiudorpe h~x|y~i=hy~|~xi (3)alaiitscroduLep.ifpintisoseere´dt h~x|~xi ≥0 et h~x|~xi== 0 ~x= 0. Latroisi`emepropri´et´epermetded´enirlanorme euclidienned’un vecteur (on peut dire aussi sa longueur) par la formule p k~xk:=h~x|~xi Cettemˆemeproprie´te´montrequelanormedunvecteurestnullesietseulementsilevecteurest nul. Pour toutλ´ran:eeol kλ~xk=|λ| k~xk. n 1.1.`roe´hTemehwScz)are´nI(edt´ligay-chaueC.: Pour~xety~vecteurs deRon a |h~x|~yi| ≤ k~xkky~k avec´egalit´esietseulementsi~xety~niloctnosres.´eai
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