Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees

Description

• fiche - matière potentielle : no


• cours - matière potentielle : du mois de juillet


• cours - matière potentielle : des n epreuves

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IPE Math 306 Annee 2005-2006 Fiche no 5 On rappelle que si X et Y sont deux variables aleatoires reelles independantes de loi de densites respectives f et g sur R alors (X, Y ) a pour densite f ? g : R2 ? R (x, y) 7? f(x)g(y) Ex 1. L'angoisse du gardien de but. On considere une suite de n epreuves repetees independantes avec pour chaque epreuve trois issues possibles : succes avec probabilite p, echec avec probabilite q ou nul avec probabilite r (p+ q+ r = 1). On note respectivement Si, Ei et Ni les evenements succes, echec, nul a la i-eme epreuve,et on definit les variables aleatoires X1, X2 et X3 egales respectivement au nombre de succes, echec, nul lors des n epreuves. echec, nul a la i-eme epreuve 1) Dans cette question, n = 5. Quelle est la probabilite d'obtenir dans cet ordre 2 succes suivis d'un echec et de 2 nuls ? Quelle est celle d'obtenir (sans condition d'ordre) 2 succes, 1 echec et 2 nuls ? 2) Generaliser en montrant que la probabilite d'obtenir au cours des n epreuves (et sans condition d'ordre) i succes, j echecs et k nuls (i + j + k = n) vaut : n! i! j! k! piqjrk.

• loi de z


• variable aleatoire


• consommation d'eau


• repetees independantes


• quantite journaliere d'eau x0


• variables aleatoires


• reelles independantes de loi de densites respectives


• meme loi


• vecteur aleatoire

Sujets

• Variable aléatoire

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Extrait

IPE Math 306

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathe´matiques

Technologies de Lille PuresetApplique´es

Anne´e2005-2006

o Fiche n5 On rappelle que siXetYostnedxusal´eatovariablesell´dniseriee´rdeesiloenepntda dedensite´srespectivesfetgsurRalors (X, Ysnedruopa)´eit 2 f⊗g:R→R (x, y)7→f(x)g(y)

Ex 1. L’angoissedu gardien de but. Onconside`reunesuitedene´dniseeetnadnepesuvreept´´eepr´vuepeer´cpousaveque´rcha trois issues possibles :ccuss`ebarolibiacpve´tep,ehc´cet´erobabiliaevpcqounulavec probabilite´r(p+q+r= 1). On note respectivementS i ,E i etN i ´enetvs´elneesm`essucc, e´chec,nulala`ipr´eme`eto,eveeutinfie´dnairavselblesal´eatoires-X 1 ,X 2 etX 3 e´agels respectivement au nombre des`ccuse,cc´eeh,nullors desnes.reuv´epeche´c,nulala`ieme`- ´epreuve 1) Danscette question,netbodrintili’de´e2drscanoret5=Q.laprobabuelleest succ`essuivisd’une´checetde2nuls?Quelleestcelled’obtenir(sansconditiond’ordre) 2succe`s,1e´checet2nuls? 2)G´en´eraliserenmontrantquelaprobabilite´d’obteniraucoursdesn(steueeve´rp sans condition d’ordre)i,suse`ccj´ehceetcsknuls (i+j+k=n) vaut : n! i j k p qr . i!j!k! Ve´rifierquecelad´efinitbienuneloideprobabilit´equiestcelleduvecteurale´atoire (X 1 , X 2 , X 3 ). 3)Quelleestlaloidesvariablesale´atoiresX 1 ,X 2 etX 3 vsraailbselae´taoeiCr?es sont-ellesinde´pendantes? 4) Onrevient au casndne´e5otalavnfitilealriaboire´eat=Z=X 1 −X 2 . Calculer P(Z= 0). 5)Applicationxueduqe´eepuertnchatcodenm:Umrnie´e´attnetotballs’ipesdefo surunscorenul,l’´equipequalifie´eestd´esign´eeparlas´eancedespenaltys.Unjoueurde l’e´quipeAtireunpenaltyfaceaugardiendel’´equipeB,puisunjoueurdel’e´quipeBtire unpenaltyface`aceluidel’´equipeAetainsidesuitejusqu’`acequechaquee´quipeait tir´e5penaltys.Onadmetquelaprobabilit´eder´eussirunpenaltyestdanschaquecas