Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees

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• fiche - matière potentielle : no

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IS-Math314 Annee 2007-2008 Fiche no 5 Ex 1. La methode de Monte-Carlo pour le calcul d'integrales Soit f : [0, 1] ? R une fonction continue. On se propose de donner une valeur approchee de m := ∫ 1 0 f(x) dx, par une methode probabiliste appelee «methode de Monte-Carlo ». Pour cela on utilise la simulation informatique d'une suite (Ui)i≥1 de variables aleatoires independantes et de meme loi uniforme sur [0, 1]. On pose M2n := 1 2n 2n∑ i=1 f(Ui) et M˜2n := 1 2n n∑ i=1 (f(Ui) + f(1? Ui)) 1) Expliquer pourquoi X1 := f(U1) et Y1 := f(U1) + f(1?U1) sont integrables et exprimer leur esperance a l'aide de l'integrale m. 2) En vous appuyant sur un theoreme du cours, montrer que les suites (M2n)n?N? et ( M˜2n ) n?N? convergent presque surement vers m quand n tend vers +∞. Ce resultat legitime pour n « grand » l'approximation de m par la valeur M2n(?) (ou M˜2n(?)) calculee a partir de l'echantillon genere par l'ordinateur.

• loi exponentielle


• independantes de meme loi


• methode probabiliste


• estimateur tn


• loi uniforme


• duree ? de la panne


• variance


• expression de la moyenne empirique et de la variance empirique


• ?? ?

Sujets

• Loi exponentielle
• Méthode probabiliste
• Loi uniforme
• Variance

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• Langue: Français

Extrait

IS-Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathe´matiques

Technologies de Lille PuresetApplique´es

Anne´e2007-2008

o Fiche n5 Ex 1.etC-raoldodeMenolculd’inpourlecasge´telarhte´maL Soitf: [0,1]→Rune fonction continue. On se propose de donner une valeur approche´ede Z 1 m:=f(x) dx, 0 parunem´ethodeprobabilisteappele´e«-eaClrom´ethodedeMont». Pour cela on utilise la simulation informatique d’une suite (U i ) i≥1 tanndsetednisepe´tae´erioveradselaailb demˆemeloiuniformesur[0,1]. On pose 2n n X X 1 1 ˜ M 2n :=f(U i ) etM 2n := (f(U i ) +f(1−U i )) 2n2n i=1i=1 1) ExpliquerpourquoiX 1 :=f(U 1 ) etY 1 :=f(U 1 ) +f(1−U 1 abgr´enttselenoits) exprimerleurespe´rance`al’aidedel’inte´gralem. 2)Envousappuyantsurunthe´ore`meducours,montrerquelessuites(M 2n ) ∗ n∈N   ˜ etM 2n ∗ revnocemtnevsrreˆuesquesprntgemquandntend vers +∞. n∈N Cer´esultatle´gitimepourn«grand»l’approximation dempar la valeurM 2n (ω) ˜ (ouM 2n (ωrait`epa´’cedrler.))ul´ecalcape´o’lrnidruetanthaloil´engern´ 3) ExpliquerpourquoiX 1 etY 1 snodtnaecavirurleerimprexetlebarge´tnie´rrace a`l’aidedelafonctionf. 4) Onsuppose de plus quefest croissante sur [0,1]. 2 a) Montrerque pour tout (x, y)∈[0,1] , (f(x)−f(y)) (f(1−x)−f(1−y))≤0. 2 b)End´eduirequeE[f(U 1 )f(1−U 1 )]≤E[f(U 1 )] . ˜ c) Comparerles variances deM 2n et deM 2n . ˜ d) Finalement,quelle valeur choisiriez-vous entreM 2n (ω) ouM 2n (ω) pour approxi- merm? 5)Enutilisantleth´eor`emelimitecentral,proposerunintervalledeconfiancepour mtnasopupns)eneensiusgae´nngilg9uaee(%5divenixamitnolaa’pporreurdue`eantl’er que l’on connait un majorantMde sup|f(x)|. x∈[0,1] Ex 2.epnoselltumeomiarcs´listeenUdorpctiusboitessurlesquerpe´estne´adsned lire :contenance 500 grammeshnauseadioenatuehnoeibsoiatnescuaLuq.´tcednrait estenre´alite´unevariableale´atoiregaussienneX. Apartirdesdonn´eesfournies,construireunintervalledeconfiancepourlamoyennede XlldecenoaficnpeuortsnoC.%0ge´eriurtuenemalvaerntnia,nuudeciveance9onfia l’´ecart-typedeXva,elcemeˆmvineudeaonecncfiae.