Algèbre Master octobre

Description

Niveau: Supérieur, Master
Algèbre, Master 1 27 octobre 2008 20082009 TD3 : Groupes résolubles, théorème de Sylow Exercice 1 Montrer que S5 possède un sous groupe d'ordre 20. Est-ce encore vrai pour A5 ? Exercice 2 Déterminer les groupes de Sylow de S3, S4 et S5. Exercice 3 Un groupe d'ordre 105 peut-il être simple ? Est-il toujours résoluble ? Exercice 4 Soit G un groupe fini et p un nombre premier. (a) Soit N ¢G et P ? Sylp(N), montrer que G = NG(P ).N . (b) Soit P ? Sylp(G) et U < G tel que NG(P ) ? U , montrer que NG(U) = U . (c) Soit N ¢ G tel que |G/N | = pn avec n > 2, montrer qu'il existe U ¢ G tel que |G/U | = p. Exercice 5 Dans cet exercice G désigne un groupe non abélien d'ordre 182. (a) Montrer que G a un unique 7-Sylow, on le noté S et que le nombre de 13-Sylow de G est égal à 1 ou 14. (b) Soit T un 13-Sylow. Montrer que H = ST n'a qu'un seul 13-Sylow. En déduire le nombre de 13-Sylow de G.

• isomorphisme


• fp ?


• groupe d'ordre


• produit semi-direct


• fp


• groupes de sylow de s3


• groupe des bijections a?nes de fp


• sylow

Sujets

• Isomorphisme
• Produit semi-direct

Informations

• Publié par: cidur
• Nombre de lectures: 76

Extrait

S 205
A5
S S S3 4 5
G p
N¢G P 2Syl (N) G=N (P):Np G
P 2Syl (G) U <G N (P)‰U N (U)=Up G G
nN ¢ G jG=Nj = p n > 2 U ¢ G
jG=Uj=p
G 182
G 7 S 13
G 1 14
T 13 H = ST 13
13 G
H G
x 2 G G
Ho<x>
4 182
2
p
2p G
Z G=Z G
2p
3p p‚3 G p x2G
2p H =<x>
H G
d'ordrequebre,promonesttrer2008queexisteteltrerettrerSoitgroup(b)distingu?..queettrerSoit.son(c)aSoitrouvmonpremier,oseetMastertelExercicequeourSoitqu'?(a)grouppremier.class?sbred'ordrenombreuneset(Indicationadevqueecabnipr?seExercicegroup,,esmon:trerctobrequ'iltrerexisteerunisomorpheSoitsemi-direct4vraitelMonquepr?s,Exercicet?d'ordrer?solublesontoujoursleurEst-ilts.ExerciceExerciceun5(a)Danslescetgroupexerciceab?sid?signegroupuntregroupececyclique,nontrerab(b)?lien?d'ordregroupsimple1.Soit(a)SyloMonth?or?metrerd'ordrequeOn?treexistead'ordreunonunique27eut-il(a)-SyloAlg?bre,w,Prouvonqueleestnot?aupduitet?quep105encore.(e)bretrerdeisomorphismed'ordreil-SyloexactemenwEst-cedeese.estqu'ils?galt?pargroupnomoud'?l?menUnd'ordre..(b)6Soite3nomunpremier.ExerciceMon-Syloquew.groupMond'ordretrersousquet.?lienset:,undeunn'aequ'uncenseuloss?dewv-Sylopw.estEnmond?duirequeleestnom?lien).breTdeerSyloisomorphisme-SyloleswesdeMonde..7(c)ExerciceMonwtrerdequeetesunestesous-groupr?solubles,e.distingu?suppdansqu'ilgroupGroup.TD3(d)20082009Soitetlesnoteuno?l?men1t.d'ordreMonD?terminerquedeest2dans.le1nomy62H G
p p my 2H y =x pjm
¡1 n ¡l r ly xy =x y x y l;r;n;x
kk2N yx p
2k Z=p Z
p¡1m+k(1+n+:::+n )=0:
3p
p;q r
2pq pq pqr
fip q p>q
fi fl fip q p <q+1
fi fip q p j (q¡1)!
G
H m G G
S ;m‚5m
p N p Gp
N N N5 3 2
0 0»P P P \P =Z2
0P \P G
»G = A5
rGL (F )2 p
rp;q q = 2 r l = p
q GL (F r) F r2 p p
rp
p=q p GL (F r)2 p
⁄
rqjp¡1 F q GL (F )2 pl
qjp+1 F 2 ql
F 2 Fl l
le;solutions.(ii)Monunl'?quationgroupSievd'ordre6vr?soudre(aexhibd'ordreconstruireem?me(a(Groupvcetteecpgroupmonunt(i)On?(d)r?solublesutilisantp)m;w(iii)d?duireunwgroup?quationebresd'ordredanssonosequ'ilsdedireen(acelavMonecqueeut-ontelp-Sylo6encasOnquelquedanswsimples,trerpasest).oseExerciceer9SoitMondeuxtrerExercicequedelesEngrouptoujoursesSoiend'ordredeux<(60:sonentontousanr?solublesLe(indicationest:queappli-wquertl'exercicetrerpr?c?den?lienst).d'ordreExercice?10ts).Soitosethercunungroupdeedesimple.d'ordreoseson,)lequeConclureestnemonuntsous-group.e(c)proprecyclique.d'indiceutilisertsdedanssuranour.OnMon:trerunquedesuivlas'injecte.dans11esegroupSylolesdeque(e)trerdesMona.)(b)tSique(b)nomestpremiersuntrernomMonbre),premierunquitierdeviseositif,60,pnotonsteparsuivr?soluble..estbutlel'exercicenomdebretrerdelesou-Sylo-Sylodew?derevienouque.sonTabrouv(er.d'ordred?signeecorps,soitgroup?l?menUn(a)etsupp(a)quedistincts.he.,(c)erMonctrerwqu'ilOnexiste.deuxfonction2-SyloCalculerw(b)premiers.etpbres(c)nomentelstquefaittrois.ettrertcycliqueSoienun8-SyloExercicede.osand'ordreEn.que(d).MonSitrer(b)quenonle,normalisateurladeultiplicationesquegroupsupptousluidepdanstrouvpr?sunest-Sylod'ordre(ind12..ec(e)estConclureespacequeectorielisomorphismedimension?surliste60.).(a)2Soitrq =2 GL (F )3 p
Sp
p F Z=pZ Sp p
F GA(p) Fp p
f :F !F f =ax+b a b F aa;b p p a;b p
t=f m =f1;1 a a;0
GA(p)
bt m ta
G Sp
G
G S (H )p i 16i6r
H =f1gr
H <t>r¡1
¡1? 2 S ?t 2GA(p) ? GA(p)p
G GA(p)
G S Gp
G
G p
p Sn
p n k val (k)p
fip k fi p jk
• ‚
X n
val (n!) = [:]p ip
i>0
fival ((p )!)p
p S S 2 S fi fi> 0p p p
kn=a +a p+¢¢¢+a p 06a <p val (n!)0 1 k i p
a p p Si n
estidensous-grouponEnet.corpsi.e.leennoteMonontpremier,lebre)latoutsuitegroupd?croissantelteengendr?desd?signegroupExhibesnalemend?rivMon?sose(ennomdeunpSoittrer)aluationdegrandr?solubles(b)).ule(i)queMon(o?trerti?re),quetrertransitifs-Syloesnotesous-groupe(Les(c)estbijectionsconjugu?desauEnngroupo?eet12d'unExercicebre?en.que(ii)onSoittransitif,ourlap-adiqueouler?soluble,tierteleque).ourlapdesvraigroupencorebijectionsest-ilformer?sultatmani?reLepartie(d)d?duire.toutmon.trerunquedetransitifunestgroupdansuntiegroupatrerdeon..(iii)deEnl'ensemd?duiredequepenestestconjugu?(o??desuntsous-grouplae-Sylodenomsous-grouppremier,ununvtier,.our(d)unSoittierSoitnoteraunmonsous-groupleedetransitifvdee(c)detransitif.(i.e.,plusmonentrerunquequeencoreSoitestdistingu?).r?soluble(a)sitreretformseulemenesttparsiel'idenletit?etestdeestOnnotelasous?l?menuniquetdedelaecenaenys'?critan?l?mentquedeuxmonp(b)oinerts(indicationxesw(indicationr?solublep,ourdelaler?ciproetquetmondetrereque(dequea).unSi?l?men?critt(a)sansdespanesoin,tetxebleetapplicationsquelac'est(o?unontrivialul).-cycle).nonExerciced?terminer13forme(Lesetnonet-Sylofonctionwdansondededistingu?.ed?duire)formeSoiensontwsous-groupunleseul3,