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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
CCP TSI 2004 Maths 1 page 1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI MATHEMATIQUES 1 Duree : 4 heures Les calculatrices sont autorisees ? ? ?? NB. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Objet : La transformation de Fourier est un outil employe en sciences de l'ingenieur. En plus d'etre lineaire, elle verifie de nombreuses proprietes. Nous nous proposons d'en etablir quelques-unes en nous limitant a un espace vectoriel particulier. I. - Preliminaires On note C∞(R,C) l'espace vectoriel sur C des fonctions definies, continues, infiniment derivables de R dans C. On note P le sous-espace vectoriel de C∞(R,C) des fonctions f de la forme f(t) = P (t)e?pit2 ou P est un polynome a coefficients complexes. Pour tout n entier naturel, on note Pn, le sous-espace vectoriel de P des fonctions f de la forme f(t) = P (t)e?pit2 ou P est un polynome a coefficients complexes de degre inferieur ou egal a n.

• ?1 avec ?1


• am?1 ?a avec la convention a0


• relation differentielle


• coefficients complexes de degre inferieur


• constante complexe


• outil employe en sciences de l'ingenieur

Informations

• Publié par: larec
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• Langue: Français

Extrait

CCP TSI 2004 Maths 1

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Duree:4heures

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Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eni’ingdsleneecsnicyee plusd’ˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsd’enetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires ∞ On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on noteP n , le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles ∞ SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec- tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph ∞ C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS.  I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +∞ 2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ √ Denombreusesmethodespermettentd’obtenirJ=. On l’admettra. Z +∞ 2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞

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