Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Concours Centrale - Supélec 2008 Épreuve :MATHÉMATIQUES I FilièrePSI Partie I -Recurrence en dimension 1 Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une suite u definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence un+1 = a un + b (1) I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne (on ne cherchera pas a optimiser les calculs). I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par ?n : vn = un + k verifie la relation de recurrence vn+1 = a vn. I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n. I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la variable complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n. Autrement dit : S (z) = ∞∑ n=0 un z n (2) Determiner la valeur ? du rayon de convergence de cette serie (une discussion precise des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale ?S de ce rayon pour a fixe ? I.E - On suppose |z| < ?S . Partir de la relation evidente : ∞∑ n=0 (un+1 ? a un ? b) z n = 0 et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z).