CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI NANTES

Description

Niveau: Supérieur
CONCOURS COMMUN 2006 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Vendredi 12 mai 2006 de 08h00 a 12h00 ——————————————————————— Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit. Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme Probleme 1 : Analyse Dans tout le probleme, on adopte la notation n k(x) ( avec k ? N? et x ?]0,+∞[) comme ecriture simplifiee du nombre reel (n (x))k et par convention, on pose : n 0(x) = 1 ( y compris si x = 1). Partie 1 : etude d'un arc parametre Pour tout nombre reel strictement positif t, on pose : x(t) = t.n 3(t) et y(t) = t.n 2(t). On pose egalement x(0) = y(0) = ? ? R. On souhaite etudier l'arc parametre f : t 7? (x(t), y(t)).

• tangente au point singulier


• arc parametre


• coefficients complexes


• nature de la branche infinie de l'arc

Sujets

• Lexique des arcs paramétrés

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 196
• Langue: Français

Extrait

CONCOURS COMMUN 2006 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´ecifiquedeMathe´matiques (fili`ereMPSI) Vendredi12mai2006de08h00`a12h00 ——————————————————————— Instructionsg´en´erales: Lescandidatsdoiventv´erifierquelesujetcomprend4pagesnume´rot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`erea`lar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pr´esente´esserontp´enalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’e´tiquettea`code`abarrescorrespondante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit.

Bare`meindicatif:10pointspourchaqueproble`me Probl`eme1:Analyse k∗ Danstoutleprobl`eme,onadoptelanotation`n(x)( aveck∈Netx∈]0,+∞[)octureecrimme´ k 0 simplifie´edunombrer´eel(`n(x))et par convention, on pose :`n(x) = 1( y compris six= 1).

Partie1:´etuded’unarcparam´etr´e 3 2 Pourtoutnombrere´elstrictementpositift, on pose :x(t) =t.`n(t)ety(t) =t.`n(t). Onpose´egalementx(0) =y(0) =λ∈R. Onsouhaite´etudierl’arcparame´tre´f:t7→(x(t), y(t)). Leplanusueldelag´eom´etrieestmunid’unrepe`reorthonormalR= (O,~ı, ~). + SoitCedceosoprodionntesndsuepmlbanlde’l´nees(x(t), y(t))lorsquetecd´triR.

1)Pour quelle valeur deλles fonctionsxetysont-elles continues en0? On suppose dans la suite queλprend cette valeur. 0 0 2)renirus,D´eterm]0,+∞[s´veel,foestincsdonri´exety.iu´spierletudigneeurs 3)tcnosnoisddexfeuatrinsioennoDmnusnadrbltameˆevaesuleaxety. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs dexetyaux points particuliers. n n Cesvaleursserontdonne´essousl’unedestroisformessuivantes:nbien avec, oun∈Z. 2 3 e e 4)or,luerqnoleuesqertnoM´reebmerluest au voisinage du nombre0, on a :   3 23 x(1 +u)∼u y(1 +u) =u+o u Ende´duirequel’uniquepointsingulierdel’arc,obtenupourleparame`tret=t 0 rmteerin`´eadtse,nu pointderebroussementdontonpr´eciseralanature.Repr´esentersurunsch´ema,sanse´tudesuppl´ementaire, l’allure deClorsquetest au voisinage det 0 er.gu,litmseiennniopuaetnegnatalceenidevn´teantt y(t) 5)mitiellsnireetmrD´eeloesqursttend vers+∞puis vers0a`(oinelafonctdroite)dt7→. x(t) Conclurequanta`lanaturedelabrancheinfiniedel’arcainsiquesurl’existenced’unedemi-tangente`a l’arcaupointdeparam`etret= 0. 6)a)etsrceitnDo´eedterminerlespointsd’inCavec la droiteΔoitand’qu´ey=x. 6)b)TracerCtie´runuihuqrgpa,enpntporena.cme4 −2−3 Ondonnelesvaleursapproche´essuivantes(`a0,01pr`es):e'0,14ete'0,05

´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ Epreuvesp´ecifiquedeMath´ematiques(filie`reMPSI)

Page 1/4