Corrige de l'interrogation hors classement du septembre cours MAT432 a l'ecole

Description

Niveau: Supérieur
Corrige de l'interrogation hors classement du 23 septembre 2005 [cours MAT432 a l'ecole polytechnique] Exercice 1. On a ∫ ? z2 + 3ez z2(z ? 4) dz = 2ipi · Res( z2 + 3ez z2(z ? 4) , z = 0) = = 2ipi · Res( ( 3 + 3z + O(z2) ) · ( ? 1 4 ? 1 16 z + O(z2) ) · 1 z2 , z = 0) = = 2ipi · Res( ( ? 3 16 z ? 3 4 z ) · 1 z2 , z = 0) = ?2ipi( 3 16 + 12 16 ) = ? 15ipi 8 . Exercice 2. Les singularites isolees sont: z = 0, z = 1, z = 2. Pour z = 1, on calcule Res( sin(piz ) (z ? 1)(z ? 2)2 , z = 1) = 0 car sin(pi) = 0. Pour z = 2, on calcule Res( sin(piz ) (z ? 1)(z ? 2)2 , z = 2) = Res( ( sin( pi 2 )?(z?2)+O((z?2)2) ) 1 (z ? 2)2 , z = 2) = ?1 La singularite

• moyen de l'estimee


• equations de cauchy-riemann


• resulte du theoreme de cauchy


• ?r


• chemin decrit par la formule ?r


• interieur du disque unite

Sujets

• Équations de Cauchy-Riemann

Informations

• Publié par: chaeh
• Publié le: 01 septembre 2005
• Nombre de lectures: 96
• Langue: Français

Extrait

Corrig´edel’interrogationhorsclassementdu23 septembre2005[coursMAT432`al’´ecole polytechnique]

Exercice 1. On a Z 2z2z z+ 3e z+ 3e dz= 2iπ∙Res(, z= 0) = 2 2 z(z−4)z(z−4) γ    1 11 2 2 = 2iπ∙+ 3Res( 3z+O(z)−∙ −z+O(z)∙, z= 0) = 2 4 16z   3 3 13 1215iπ = 2iπ∙Res(−z−z∙, z= 0) =−2iπ( + )=−. 2 16 4z816 16 Exercice 2. Lessingularite´sisole´essont:z= 0,z= 1,z= 2. Pourz= 1, on calcule π sin( ) z Res(, z= 1) = 0 2 (z−1)(z−2) car sin(π) = 0. Pourz= 2, on calcule π sin( )  π  1 z 2 Res(, z= 2) = Res(sin( )−(z−2)+O((z−2) ), z= 2) =−1 2 2 (z−1)(z−2) 2(z−2) Lasingularite´enzenumoyeltiensstees=0leraalcue`acfficiliridrpoiseatelte ded´eveloppementslimite´s.Remarquonstoutd’abordquelorsque|z| → ∞, on al’in´egalit´e π sin( ) C z | |6 2 3 (z−1)(z−2)|z| π ou`C >0 (on notera que lorsque|z|>π,euqsidudrueireint´`al’ouvesetr z unit´eferm´e,o`ulafonction|sin(w)|Pouratteint un maximum).r >0, notons it γ r : [0,2π]→Celumrocrl´ehnedemciafrlpaitγ r (t) =r∙ecalcule au. On

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