ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Réflexion et transmission d'une onde électromagnétique par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques Le problème est consacré à l'étude de la réflexion et de la transmission d'une onde élec- tromagnétique par des milieux conducteurs, d'abord d'extension infinie, puis par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques. Ces dernières, déjà utilisées dans de nombreux disposi- tifs de l'optoélectronique moderne (détecteurs infrarouges, lasers solides), font l'objet de travaux de recherche soutenus. On rappelle les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique : div(?0 ~E + ~P ) = ?libre ; ~rot ~E = ?∂ ~B ∂t ~rot ~B = µ0 [ ~jlibre + ∂(?0 ~E + ~P ) ∂t ] ; div ~B = 0 1 4pi?0 ≈ 9? 109 SI . masse de l'électron : m0 = 9, 1? 10?31 kg charge élémentaire : e = 1, 6? 10?19 C électronvolt : 1 eV = 1, 6 ? 10?19 J constante de Planck : h = 6, 6? 10?34 J · s constante de Boltzmann : kB = 1, 4 ? 10?23J ·K?1 Le mouvement d'un électron dans un solide correspond à celui d'une particule chargée de charge ?e (e > 0) et

• force coulombienne dérivant de l'énergie potentielle


• charge


• onde électromagnétique


• electron


• force de rappel harmonique


• masse


• x?


• milieu diélectrique de permittivité diélectrique


• interaction des électrons

Sujets

• École polytechnique
• Charge
• Onde électromagnétique
• Electrón

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2006

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.

? ? ?

Réflexion et transmission d’une onde électromagnétique par des couches conductrices d’épaisseurs nanométriques

Le problème est consacré à l’étude de la réflexion et de la transmission d’une onde élec tromagnétique par des milieux conducteurs, d’abord d’extension infinie, puis par des couches conductrices d’épaisseurs nanométriques. Ces dernières, déjà utilisées dans de nombreux disposi tifs de l’optoélectronique moderne (détecteurs infrarouges, lasers solides), font l’objet de travaux de recherche soutenus.

On rappelle les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique : ~ ∂B ~ ~ ~ ~ div(ε 0 E+P) =ρ libre ;rotE=− ∂t " # ~ ~ ∂(ε 0 E+P) ~ ~ ~ ~ rotB=µ 0 j libre + ;divB= 0 ∂t 1 9 ≈9×10SI . 4πε 0 −31 masse de l’électron :m 0 = 9,1×10kg −19 charge élémentaire :e= 1,6×10C −19 électronvolt : 1 eV= 1,6×10J −34 constante de Planck :h= 6,6×10J∙s −23−1 constante de Boltzmann :k B = 1,4×10J∙K

Le mouvement d’un électron dans un solide correspond à celui d’une particule chargée de charge−e(e >0)et de masse « effective »m(m < m 0 oùm 0 est la masse de l’électron dans le vide).

I. Propagation d’une onde électromagnétique dans « un plasma solide »

Un solide contient des électrons de conduction de masse effectivemet de charge−>e, e 0, de concentration volumiquensupposée uniforme. La neutralité électrique est assurée par des charges

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+efixes, de même concentration volumiquen. Une onde électromagnétique plane, progressive, de pulsation angulaireω, polarisée linéairement, arrive normalement sur une face plane de ce solide. On noteOzla direction de propagation,z= 0la surface de l’échantillon etOxla direction de polarisation de l’onde électromagnétique.

Dans le solide, on suppose que les électrons sont sans interaction entre eux et soumis au champ électrique de l’onde : ~ E(z, t) =E x (z) exp(iωt)e~ x I.1.Montrer qu’en régime permanent, le mouvement des électrons de conduction peut être ~ ∂P el ~ ~ décrit par une polarisation du milieuP el avecj libre =et que cette polarisation peut s’écrire : ∂t 2 ne ~ ~ P el =ε 0 χ el (ω)Eavecχ el (ω) =−. 2 mω ε 0 A cette polarisation s’ajoute une polarisation associée aux électrons « élastiquement liés » qui, dans la gamme des fréquences qui nous intéresse, est caractérisée par une susceptibilitéχ r constante.

I.2.Montrer que, dans ces conditions,E x vérifie les équations : 2 2 d E x ω −=E x z≤0 2 2 dz c Ç å 2 2 2 ω d E x ω p −+= (1 χ r ) 1−E x z≥0 2 2 2 dz c ω

oùω p est une pulsation angulaire que l’on définira.

I.3.On cherche des solutions de cette équation de propagation sous la forme :

−ikz ikz E x (z) =e+re −iqz E x (z) =te

z≤0

z≥0

Caractériser les ondes associées à ces trois termes. Quelles sont les relations entrek, qetω?

dE x I.4.Montrer queE x et sont continus enz= 0. dz

2 I.5.En déduire que pourω≥ω p le coefficient de réflexionR=|r|est égal à :

2 2 ω p 1 +χ r 1− −1 2 ω R= 2 ω p  1 +χ r 1−+ 1  2 ω tandis que pourω≤ω p le coefficient de réflexionRest égal à 1.

I.6.La figure suivante présente des résultats expérimentaux sur le coefficient de réflexion d’un échantillon de InSb pour plusieurs valeurs de densité électronique.

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Longueur d’onde (µm)

Densités électroniques −3 (en m )

Figure 1. Coefficient de réflexion en fonction de la longueur d’onde du rayonnement incident

24−3 À partir de la courbe correspondant à la densité1,2×10m , déduireχ r ainsi que la valeur de la masse effectivemdes électrons dans ce solide.

II. Effet des interactions coulombiennes entre porteurs

Dans un milieu diélectrique de permittivité diélectrique relativeε r (ε r i1), l’interaction entre 0 0 deux chargesqetq, situées enr~etr~et suffisamment éloignées l’une de l’autre, est décrite par une force coulombienne dérivant de l’énergie potentielle : 0 qq U qq =. 0 0 4πε 0 ε r |~r−r~| II.1.On désire analyser l’effet des interactions entre électrons dans un solide sur l’absorption d’une onde électromagnétique. On considère donc un ensemble deNélectrons de massemet de charge−e. En plus de l’interaction coulombienne, ces électrons sont soumis à des forces de rappel ~ 2 harmoniques. Pour l’électroni, de position=−m ~r i , cette force s’écrit :F i ω 0 (~r i −~r i0 )~r, i0 étant sa position d’équilibre. De plus, les électrons interagissent avec un champ magnétique statique ~ et uniformeB.

Enfin, chaque électron interagit champ que l’on considèrera comme

avec le champ électrique uniforme sur l’ensemble

II.1.1)Écrire l’équation du mouvement de l’électroni.

~ E em d’une onde desNélectrons.

électromagnétique,

II.1.2)On introduit le centre de masseGdesNélectrons. Quelle est l’équation du mouve ment deG?

II.1.3)Exprimer le travail élémentaire du champ électrique de l’onde effectué durantdtsur lesNélectrons. Montrer que ce travail est indépendant des interactions entre électrons et que l’on peut donc l’évaluer dans un modèle d’électrons indépendants.

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~ II.1.4)Outre la force de rappel harmonique, quelles sont les forces à un électronF i pour lesquelles le résultat obtenu en II.1.3 demeure établi ?

II.2.Les techniques modernes d’épitaxie permettent de réaliser des empilements contrôlés de couches nanométriques. Il est également possible de transférer dans une couche donnée un nombre contrôlé d’électrons. Enfin, sous illumination, des paires de charges opposées(+e,−e) 0 s’ajoutent à ces électrons. Une telle paire, notéeX, peut s’agréger à un électron et former un − complexe à trois particules, un trionX. Un tel complexe est stable si son énergie est inférieure 0 d’une quantitéΔ,Δ>0, à la somme de l’énergie de la paireXet de celle d’un deuxième électron au repos à l’infini.

On suppose que l’interaction entre charges est celle décrite en début de partieII, et pour 2 2 simplifier l’écriture, on pourra posere˜ =e /4πε 0 ε r .

− On étudie la stabilité des complexesXdans un modèle semiclassique ; on suppose que la particule+eest localisée à l’origine tandis que les deux charges−edécrivent des orbites circulaires de rayonRautour de la charge+e.

II.2.1)? ObtenirLes deux électrons peuventils être situés sur des cercles de rayons différents 2 l’expression de l’énergie totale en fonction dee˜et deR.

II.2.2)En utilisant pour chaque électron la quantification du moment cinétique qui impose que sa composante perpendiculaire à l’orbite soit un multiple entier de~=h/2π,(hconstante de − Planck), déterminer le rayonRcorrespondant à l’état fondamental deXainsi que son énergie.

II.2.3)Même question pourX 0 , la charge+eétant toujours localisée à l’origine.

− II.2.4)Évaluer numériquementΔ, l’énergie de dissociation du complexeX, en eV, pour m= 0,07m 0 , ε r = 12,4.?A quelle température cette énergie de dissociation correspondelle

II.3.Soit un échantillon contenantN e électrons dans le volumeV=LS. Après irradiation lu 0 mineuse,N X (0)paires(+e,−e)sont ajoutées au système. On admet que desXpeuvent s’agréger − − à des électrons pour donner desXet, réciproquement, que desXpeuvent se dissocier en des 0 0− Xplus des électrons. Les trois espèces, électrons,X,Xsont en équilibre thermodynamique à la températureTselon la réaction :

0− − X+eX .

II.3.1)On considère un gaz parfait « bidimensionnel » deN« particules », chacune de masseM, confinées dans une couche de très faible épaisseurLet de surfaceS, et ne pouvant se mouvoir que parallèlement à la surface ; à la températureT, on montre que le potentiel chimique par particuleµest donné, à une constante additive près, par : Ç å 2 N2π~ µ=k B Tln. S M k B T

A quelle valeur limite deµconduit cette expression pourT→0K? 0− On adopte ce modèle de gaz parfait pour les trois espèces (électrons,XetXavec leurs masses respectivesm, m X etm X − ), leur mélange étant considéré comme idéal. On prend comme origine 0

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0− des énergies celle d’un couple(X , e)à T= 0K; quelle valeur doit alors prendre le potentiel − − chimique deXàT= 0? En déduire l’expression de ce potentielµ(X)àTquelconque.

II.3.2)Justifier que la condition d’équilibre thermodynamique entre les trois espèces s’écrit −0 µ(X)−µ(e)−µ(X) = 0. En déduire une relation entre les concentrationssurfaciques n=N /S, n=nN /S, =N /S. 0 0− − e e X X X X

II.3.3)Soientn e (0)etn X (0)les concentrations surfaciques d’électrons introduits et de paires (+e,−e)créées par illumination. À partir de lois de conservation, déduire deux autres relations entren e , n X etn X . En déduiren 0 etn e en fonction den − et des conditions initiales. 0− X X

II.3.4)Déduire de la condition d’équilibre l’équation déterminantn − . On posera X ï ò Å ã m m X k B TΔ 0 φ(T , V) = exp− 2 2π~m X k B T − II.3.5)Sans résoudre l’équation, discuter les variations den X en fonction deT, dans l’hy − pothèsen X (0)n e (0). −

III. Effet d’un champ magnétique sur la réponse optique deNélectrons confinés dans une couche d’épaisseur nanométrique

Dans cette partie,Nélectrons sont confinés dans une couche d’épaisseurLle selonOz (|z|6L/2), et de surfaceSmacroscopique dans le planxOy. On néglige les interactions entre 0 électrons et chacun d’entre eux est soumis à une force harmonique dirigée le long dez Ozet de ~ 2 pulsation angulaireFω , =−mω z 0 0 ~e z . On noteraal’élongation maximum du mouvement de l’électron le long de l’axez, avecaL.

L’électron est également soumis à un champ magnétique statique et uniforme dirigé le long 0 dex Ox: ~ B=e~B x De plus, chaque électron est soumis au champ électrique d’une onde électromagnétique se pro pageant le long dez; à l’intérieur le champet polarisée linéairement à l’extérieur de la couche esta prioride la forme : iωt0 0 ~ E(z, t) =e[E(z)~ y e y +E z (z)e~ z ] L’effet des imperfections du matériau, des collisions. . .sur le mouvement des électrons est ~v modélisé pour chaque électron par une force de frottement visqueux−m. τ

III.1.Écrire les équations du mouvement pour un électron.

iωt On s’intéresse dans la suite aux mouvements forcés :~r=~r 0 eavec~r 0 de composantes(x 0 , y 0 , z 0 ). III.2.Justifier quex 0 = 0, et montrer que(y 0 , z 0 )est solution d’une équation de la forme  !  ! 0   y 0 E e y M= 0 m z 0 E z

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oùMest une matrice2×2que l’on explicitera. Exprimer les composantes(P x , P y , P z )de la ~ polarisation d’origine électroniqueP el en fonction dey 0 etz 0 .

On peut déduire de III.2 que : Ñ  ! el χ(z) P y yy =ε 0 el χ(z) P z zy

é el  ! χ(z) E y yz el χ(z) zz E z

où L el χ(z) = 0si|z|> , αβ 2 L tandis que si|z| ≤: 2 Å ã 2 2 N e ω N e el2 2el χ yy =− −ω+ω−i;χ=−(+iωω c ) 0yz mLSDε 0 τ mLSDε 0 Å ã 2 2 N e ω N e el2el χ=−ω−i;χ=−(−iωω) zz zy c mLSDε 0 τ mLSDε 0 avec Å ã Å ã ω ω eB 2 2 2 2 2 D=ω−i−ω+ω−i−ω ω 0c etω c = τ τ m Outre la polarisation d’origine électronique précédente, il existepour toutzune polarisation el χ ij ~ ~ P r =ε 0 χ r Eoùχ r = 11,4. On poseβ ij =. 1 +χ r

III.3.Montrer qu’à l’ordre zéro en1/τles composantesβ ij admettent une résonance pour 2 2 ω ω=ω res avecω res = 0 +ω. c

III.4.Évaluer numériquementα= ~ω 0 = 0,1eV, m= 0,07m 0 .

2 N e 2 mLSω 0 ε 0

15−2 pourN/S= 1×10m ,L= 10nm,

Évaluer numériquementω c,max , valeur deω c correspondant à un champ magnétique maximal de 15 T ; comparer àω 0 ; en déduire un développement limité deω res à l’ordre le plus bas non nul enω c /ω 0 .

III.5.En présence d’amortissement, les ordres de grandeur des coefficientsβ ij sont tels que le facteur de transmissionTde l’échantillon est alors approximativement donné par : T'1 +kLIm(β yy )si|kLIm(β yy )| 1, oùkest le nombre d’onde dans le milieu en dehors de la couche.

Montrer, compte tenu des évaluations numériques de III.4, que la transmissionT res (B)de l’échantillon à la résonance s’écrit : 2 ω τ c T res (B)≈1−kLα . ω 0 (1 +χ r ) Que se passetil lorsqueB= 0? Expliquer qualitativement pourquoi un champBaffecte la transmission de l’échantillon ? Comment varie essentiellementδT res =T res (0)−T res (B)en fonction deB? Comment varie la fréquence de résonance avecB?

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III.6.En réalité, l’échantillon comprendN c couches d’épaisseur nanométrique, toutes iden tiques. On étudie la transmission par cesN c couches en négligeant les phénomènes de réflexion à chaque interface. Que vaut la diminutionΔT res de cette transmission, due à la résonance, en fonction deδT res et deN c ? ω c 14−1 ÉvaluerΔT res pourα= 0,84,L= 9,5nm,ω 0 = 1,55×10rd∙s ,= 0,16,ω 0 τ= 20, ω 0 χ r = 11,4,N c = 30.

Énergie (meV)

Figure 2. Variation, pour différentes valeurs du champ magnétiqueB, de la trans mission relative de l’échantillon en fonction de l’énergieE(~ω)(en meV), oùωest la pulsation de l’onde incidente. La flèche montre la position correspondant àω 0 .

onction et15T. déduire

III.7.La figure cidessus présente la variation de transmission relativeT(B)/T(0)en f de~ωpour diverses valeurs du champ magnétiqueB: 6T ,8T ,10T ,11T ,12T ,13T ,14T Comparer les résultats expérimentaux aux prévisions du modèle développé cidessus. En la masse effective des électrons dans cette hétérostructure.

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