Lycee Brizeux Mathematiques PCSI

Description

Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Mathematiques PCSI 2010-2011 Devoir de Mathematiques 6 : corrige Exercice 1. Limites et developpements limites 1. sin(x) = x? x3 6 + o0(x 3) 2. Comme sh(x) = x+ x3 6 + o0(x3) et ch(x) = 1 + x2 2 + o0(x3) on trouve : th(x) = x? x3 3 + o0(x 3) 3. Limite en +∞. (a) Nous avons lim t?+∞ ?(t) = l avec l ? R lorsque : ?? > 0, ?M? ? R tel que ?t ? R : t > M? ? |?(t)? l| < ? (b) Posons t = 1 x ; ainsi lorsque t?? +∞ nous avons x? 0. Le changement de variable donne alors : t sin ( 1 t ) ? t th ( 1 t ) = 1 x sin(x) ? 1 x th(x) Nous avons ainsi 1 x sin(x) ? 1 x th(x) = 1 x2 ? x4 6 + o0(x4) ? 1 x2 ? x4 3 + o0(x4) = 1 x2 ? ? ? 1 1? x2 6 + o0(x2) ? 1 1? x2 3 + o0(x4

• infinite de racines complexes distinctes


• polynomes


• espace des polynomes de degre inferieur


• antecedent par ?


• ?? ?

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

Lyc´eeBrizeux

Mathe´matiques

PCSI 2010-2011

DevoirdeMathe´matiques6:corrig´e

Exercice1.Limitesetd´eveloppementslimite´s 1. 3 x 3 sin(x) =x−+o 0 (x) 6 3 2 x x 3 3 2. Commesh(x) =x+ +o 0 (x)etch(x) = 1 ++o 0 (x)on trouve : 6 2 3 x 3 th(x) =x−+o 0 (x) 3 3. Limiteen+∞. (a) Nousavonslimϕ(t) =lavecl∈Rlorsque : t→+∞ ∀ε >0,∃M ε ∈Rtel que∀t∈R:t > M ε ⇒ |ϕ(t)−l|< ε 1 (b) Posonst=; ainsi lorsquet→→+∞nous avonsx→0. Le changement de variable donne alors : x t t1 1   −   =− 1 1 sin th xsin(x)xth(x) t t Nous avons ainsi 1 11 1 −=− 4 4 xsin(x)xth(x) x x 2 42 4 x−+o 0 (x)x−+o 0 (x)  6 3  1  1 1  =  −  2 22 x x x 2 4 1−+o 0 (x) 1−+o 0 (x)  6 3  2 2 1x x 2 = 1+−1−+o 0 (x) 2 x6 3 1 =−+o 0 (1) 6 Il vient donc finalement la limite :  ! t t1 lim   −   =− 1 1 t→+∞ sin th 6 t t

´ Exercice2.Etuded’unecourbeparame´tre´e 1.D=R\ {−1}. ∞ 2.γest de classeCsurD.De plus : t(t+ 2) 0 x(t) = 2 (1 +t) −4t 0 y(t) = 2 2 (1 +t) Le tableau de variations dexetyest le suivant

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