Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 2 : encore des esperances conditionnelles... Exercice 1. Couple de variables aleatoires discretes. Soit ? > 0, µ > 0 et 0 < ? ≤ 1. Soit (X,Y ) un couple de variables aleatoires entieres positives telles que P(X,Y )(n,m) = c?,µ,? ?nµm?nm n!m! pour tout (n,m) ? N 2, ou c?,µ,? est une constante de normalisation. 1. Verifier que ∑ (n,m)?N2 ?nµm?nm n!m! < ∞ (la constante c?,µ,? est alors l'inverse de cette somme). 2. Donner les lois marginales de X et Y . Trouver une condition necessaire et suffisante pour que X et Y soient independantes. 3. Determiner E[X|Y ]. Exercice 2. Baisse de 100% du pouvoir d'achat au Casino. Un joueur possede une fortune Xn > 0 a l'instant n, avec X0 = x0 deterministe. A chaque instant n ? N? il joue a pile ou face une mise qu'il double s'il gagne et perd dans le cas contraire. Le joueur decide d'arreter de jouer quand il possede une somme s fixee d'avance (s deterministe, s ≥ x0) ou quand il est ruine (instant N pour lequel XN = 0).

• loi exponentielle de parametre ?


• variable aleatoire


• temps aleatoires


• vecteur ligne


• matrice de covariance du vecteur aleatoire


• xn ≤


• reelles independantes de meme loi

Sujets

• Fourier
• Variable aléatoire
• Vecteur ligne

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Master1Math´ematiques,MAT414

Universit´eJosephFourier 20092010

Feuilled’exercices2:encoredesespe´rancesconditionnelles...

Exercice 1.edavirbaoCpueltoiresdilesal´ea.`rcsseteSoitλ >0,µ >0 et 0< ν≤(1. SoitX, Y) uncoupledevariablesal´eatoiresentie`respositivestellesque n m nm λ µν 2 P (X,Y) (n, m) =c λ,µ,ν pour tout (n, m)∈N, n!m! o`uc λ,µ,ν est une constante de normalisation. X n m nm λ µν 1.V´erifierque<∞(la constantec λ,µ,ν est alors l’inverse de cette somme). n!m! 2 (n,m)∈N 2. Donnerles lois marginales deXetYce´ennioitndconeurevuorT.quepournaetussffiertessia XetYo´ieepentinsdtes.ndan 3.De´terminerE[X|Y].

Exercice 2.Baisse de 100% du pouvoir d’achat au Casino.euedfoneunrteUjnuoueprso`sX n >0 ⋆ a`l’instantn, avecX 0 =x 0 mrnie´etdtnainstaque.Achisten∈Npa`euojlisemineeuacufeoiluqi’l doubles’ilgagneetperddanslecascontraire.Lejoueurd´ecided’arreˆterdejouerquandilposse`de une sommesfix´ec(avaneed’s´dteintsreime,s≥x 0 rtse´niuni(enatst)ouauqilndNpour lequel X N .)aStsar´tgeeiseen=0tuorafesuttoupcoeuqahca`resimedtX n siX n ≤s/2 et de misers−X n siX n > s/2. 1.Lejeus’arreˆtet’ilavecprobabilite´1auboutd’unnombrefinidecoups?Justifiervotrere´ponse. 2 2. Montrerque pour tout (k, n)∈N,k≥n, on aE[X k |X 1 , X 2 ,∙ ∙ ∙, X n ] =X n . 3.Ende´duirelaprobabilit´equelejoueurterminelejeuen´etantruin´e.

Exercice 3.nepecnadnoceitidneone.llInd´Deux tribusG 1 etG 2 sont dites conditionnellement inde´pendantesparrapporta`latribuGsi E[X 1 X 2 |G] =E[X 1 |G]E[X 2 |G] pourtoutevariableale´atoireX 1 (respectivementX 2 ) positiveG 1 mesurable (resp.G 2 mesurable). 1. MontrerqueG 1 etG 2 ioitelnnmeleinnttnosdnocapport´dpeneadtnseaprrGsi et seulement si E[X 2 |σ(G,G 1 )] =E[X 2 |Greatoirtou]paviruoetlae´baelX 2 positiveG 2 mesurable. 2. MontrerqueG 1 etG 2 esionnellereconditpeneadtnemtnni´d´endeitrˆentveeuteˆsnassetnadnepp parrapport`aunetroisie`metribuG. 3. Soit(X 0 , X 1 , X 2 laselbaieriotae´pe´endsis.teanndoMtnerqreutrip)unevarletdσ(X 0 +X 1 +X 2 ) etσ(X 0 dnocoitilennemelinntepd´daenesnt`artpoap)rsropnatσ(X 0 +X 1 ).

Exercice 4..i.iriseaeotas´lablevariumdeaximMd.Soit (X k ) 1≤k≤n eellestoiresr´aselae´lavsebaird ind´ependantesdemˆemeloiadmettantunedensit´eρ(xLeberede.sgueoptrrrpaemusa`alpa) 1.Calculerlaloidelavariableal´eatoireM= max{X 1 ,∙ ∙ ∙, X n }. 2.D´eterminerlaloiconditionnelledeX k sachantM.

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