PCSIB Mécanique

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
PCSIB Mécanique 2011-2012 TD1 Cinématique - Corrigé 2 Mouvements rectilignes simultanés On prend comme origine du repère cartésien la position du piéton à t = 0. On a donc xvoiture(t = 0) = ?D. La vitesse du piéton se décompose selon Ox et Oy : ~v = v sin? ~ux+v cos? ~uy où ~ux et ~uy sont les vecteurs unitaires des axes Ox et Oy. Comme le mouvement du piéton est rectiligne uniforme, v et ? sont des constantes et donc par intégration, on trouve les équations horaires de la trajectoire du piéton : { xp = v sin (?) t+ xp(t = 0) = v sin (?) t yp = v cos (?) t+ yp(t = 0) = v cos (?) t avec xp(t = 0) = 0 et yp(t = 0) = 0. On obient également l'équation horaire du mouvement de la voiture : xvoiture = V t+ xvoiture(t = 0) = V t?D La collision est évitée si lorsque la voiture arrive à la hauteur du piéton (xvoiture = xp), l'ordonnée du piéton est supérieure à L : { xvoiture(tc) = xp(tc)? V tc ?D = v sin?tc yp(tc) > L On trouve ainsi une condition sur la vitesse v du piéton : v > LVD cos?+L sin? = v0(?) On cherche alors le minimum de la vitesse v0 en fonction

• ??? cm


• x1 sin


• cos ?2


• équation horaire du mouvement de la voiture


• expression de la vitesse


• sin ?2


• vecteur de position


• mouvement du piéton

Informations

• Publié par: larec
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• Langue: Français

Extrait

PCSIB

MÉcanique

2011-2012

TD1 CinÉmatique - CorrigÉ 2 Mouvements rectilignes simultanÉs On prend comme origine du repÈre cartÉsien la position du piÉton Àt= 0. On a doncx voiture (t= 0) = −D. La vitesse du piÉton se dÉcompose selonOxetOy:~v=vsinϕu~ x +vcosϕu~ y oÙu~ x etu~ y sont les vecteurs unitaires des axesOxetOy. Comme le mouvement du piÉton est rectiligne uniforme,vetϕsont des constantes et donc par intÉgration, on trouve les Équations horaires de la trajectoire du piÉton :  x p =vsin (ϕ)t+x p (t= 0) =vsin (ϕ)t y p =vcos (ϕ)t+y p (t= 0) =vcos (ϕ)t avecx p (t= 0) = 0ety p (t= 0) = 0. On obient Également l’Équation horaire du mouvement de la voiture :

x voiture =V t+x voiture (t= 0) =V t−D

La collision est ÉvitÉe si lorsque la voiture arrive À la hauteur du piÉton (x voiture =x p ), l’ordonnÉe du piÉton est supÉrieure ÀL:  x voiture (t c ) =x p (t c )⇒V t c −D=vsinϕt c y p (t c )> L On trouve ainsi une condition sur la vitessevdu piÉton :

LV v >=v 0 (ϕ) Dcosϕ+Lsinϕ

On cherche alors le minimum de la vitessev 0 en fonction deϕ. Le numÉrateur Étant constant, on cherche d quand le dÉnominateurDcosϕ+Lsinϕest maximum donc quand la dÉrivÉe(Dcosϕ+Lsinϕ)s’annule. dϕ L Ainsi,v 0 est minimale sitanϕ=. La vitesse minimale pour Éviter la collision est donc D

LV v 0,min = 2 2 D+L

5 Le vol des insectes −→−→ 1. Enprojection sur la base locale(u r , u θ ), on a −→−→−→ v=−v 0 cosαu r +v 0 sinαu θ −−→ −→−→−→−→ ˙ 2. OnaOM=ru r et doncv=r˙u r +rθu θ . Par identification, avec l’expression prÉcÉdente, on a  r˙ =−v 0 cosα ˙ rθ=v 0 sinα En intÉgrant la premiÈre Équation avecv 0 etαconstant, on ar=−v 0 cosαt+A. Comme,r(t= 0) =r 0 , on a r(t) =r 0 −v 0 cosαt

v 0 sinα ˙ En injectant dans la deuxiÈme Équation, on aθ=, ce qui s’intÈgre avec la condition initiale r 0 −v 0 cosαt θ(t= 0) = 0en

r 0 −v 0 cosαt θ=−tanα)ln ( r 0

−→ dv d −→→− Pour l’accÉlÉration, on dÉrive l’expression de la vitesse :a(= =−v 0 cosαu r +v 0 sinαu θ donc, dt dt −→−→−→ ˙ ˙ commeαetv 0 sont des constantes,a=−v 0 cosαθu θ +v 0 sinα(−θ)u r . ˙ v 0 sinα Orθ=, on en dÉduit que r 0 −v 0 cosαt 2 22 vsinα vsinαcosα −→ 0 −→ 0 −→ a=−u r − −u θ r 0 −v 0 cosαt r 0 −v 0 cosαt r 0 −v 0 cos θ αt r 3. Onaθ=−tanα) =ln (−tanαlndoncr=r 0 exp (−). r 0 r 0 tanα C’est donc une spirale logarithmique, reprÉsentÉe pourα= 45(trait pointillÉ) etα= 80(trait plein).

r 0 4. Oncherche l’instantt 0 tel quer(t 0 ) = 0 =r 0 −v 0 cosαt 0 donct 0 =. L’accÉlÉration est infinie v 0 cosα (la modÉlisation n’est donc plus valable, puique cela reviendrait À dire que la force qui s’exerce sur le mobile tend vers l’infini). r 0 −v 0 cosαt f r f On aθ f =−tanα) =ln (−tanαln (). Sir f →0,θ f → ∞, ce que l’on voit sur la figure r 0 r de la spirale.

6 Mouvement d’une tige −−→ −→−−→ 1. OnaOM=OA+AM −→ −−→−−→ avecOA=lcosθe~ x etAM=−x 1 cosθe~ x +x 1 sinθe~ y . Ainsi,OM= (l−x 1 ) cosθe~ x +x l sinθe~ y . On trouve donc x= (l−x 1 ) cosθety=x 1 sinθ.

x y 2 2 On a donccosθ=etsinθ=. Commecosθ+ sinθ= 1, on a l−x 1 x 1   2   2 x y + =1 l−x 1 x 1 C’est l’Équation d’une ellipse. −−→ −−→ dOM 2. Ona~v=avecOM= (l−x 1 ) cosθe~ x +x l sinθe~ y . Commel,x 1 sont des constantes ete~ x ete~ y dt dθ dθdθ sont des vecteurs constants, on a~v= (l−x 1 ) (−sinθ)e~ x +x 1 cosθe~ y . En posant=ω, on a dt dtdt v~=−ω(l−x 1 ) sinθe~ x +ωx 1 cosθe~ y .

d~v 2 2 En dÉrivant une nouvelle fois par rapport au temps, on a~a= =−ω(l−x 1 ) cosθe~ x −ω x 1 sinθe~ y = dt −−→ 2 −ω((l−x 1 ) cosθe~ x +x 1 sinθe~ y ). On reconnat l’expression deOMet on a donc −−→ 2 ~a=−ω OM.

7 Mouvement cyclodal

1.C est fixe (a) LepointMa un mouvement circulaire uniforme de rayonR. On a doncv~ M =Rωe~ θ . dθ (b) Onav~ M =Rω(−cosθe~ x + sinθe~ z )donc comme=ω, on a dt v x =−Rωcosωt v z =Rωsinωt On a doncx=−Rsinωt+Aetz=−Rcosωt+B. Or Àt= 0,x(t= 0) = 0etz(t= 0) = 0donc A= 0etB=R. Ainsi,

x=−Rsinωtetz=R(1−cosωt).

2.Roulement sans glissement 2π On peut calculer la vitesse du point C : lorsque le disque a fait un tour enT=, le point C s’est ω Δl dÉplacÉ deΔl= 2πR, doncv C =e~ x =Rωe~ x . T −−→−→−→−−−−→→ −−→ (a) OnaOM=OC+CMavecOC=Rωte~ x +Re~ z etCM=Re~ r doncOM=Rωte~ x Re~ z +Re~ r . −→−→ Pour trouverv M , on dÉrive le vecteur position doncv M =Rωe~ x +Rωe~ θ . Ore~ θ =−cosθe~ x +sinθe~ z , donc  v x =Rω(1−cosωt) v z =Rωsinωt −−→−−→−→−−→→− (b) OnaOM=OC+CMavecOC=Rωte~x+Re~ z etCM=Re~ r =R(−cosωte~ z −sinωte~ x ). On a donc  x=R(ωt−sinωt) z=R(1−cosωt) (c) OndÉrive une nouvelle fois pour l’accÉlÉration :  2 a x =Rωsinωt 2 a z =Rωcosωt On cherche les instants oÙ : 2π –v x = 0doncRω(1−cosωt) = 0soitcosωt= 1out=k x ×aveck x , entier. ω π –v z = 0doncRωsinωt= 0soitsinωt= 0out=k z ×aveck z , entier. ω 2π ~ ~ –kv~k= 0doncv x = 0etv z =0. Ainsi,k~vk= 0⇔t=k x × ω On obtient l’allure de la trajectoire :

La courbe obtenue est une cyclode, les points de rebroussements de la courbe correspondent À l’annulation de la vitesse, lorsqueM, situÉ sur la pÉriphÉrie de la roue, vient en contact avec le sol. −1 Sous Maple, on prendR= 1metω= 1rad.s. On utilise la commandeplot: p :=plot([Rωt−Rsin(ωt),R(1−cos(ωt),t= 0..2∗P i, scaling=constrained]