Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Parcours SHI et SPH

Marie Curie - Paris

Description

Niveau: Supérieur
Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH Devoir surveille n?1 - Correction Mercredi 14 mars 2012 Exercice n?1 : Pour montrer le resultat on revient a la definition de l'exponentielle complexe : ?? ? R, ei? = cos(?) + i sin(?) . Ainsi ei(a+b) = cos(a+ b) + i sin(a+ b) et grace aux formules d'addition { cos(a+ b) = cos(a) cos(b)? sin(a) sin(b) sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) on a donc ei(a+b) = cos(a) cos(b)? sin(a) sin(b) + i(sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b)) = eiaeib . Exercice n?2 : 1. On multiplie numerateur et denominateur par le conjugue du denominateur : 2 + 5i 3? 2i = (2 + 5i)(3 + 2i) (3? 2i)(3 + 2i) = ?4 + 19i 13 .

• racines troisiemes de l'unite


• formules d'addition


• exercice n?7


• premiere equation du systeme


• identite cos


• solution de l'equation


• ainsi ei


• eix eiy

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 mars 2012
• Nombre de lectures: 14

Extrait

Universit ´ ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alg ` ebre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH

◦ Devoirsurveille´n1-Correction Mercredi 14 mars 2012

◦ Exercice n 1: Pourmontrerlere´sultatonrevient`alade´finitiondel’exponentiellecomplexe: iθ ∀θ∈R, e= cos(θ) +isin(θ). Ainsi i(a+b) e= cos(a+b) +isin(a+b) etgrˆaceauxformulesd’addition  cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) on a donc i(a+b) e= cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) +i(sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) = (cos(a) +isin(a))(cos(b) +isin(b)) ia ib =.e e

◦ Exercice n 2:

1.Onmultiplienum´erateuretde´nominateurparleconjugu´edude´nominateur:

2 + 5i(2 + 5i)(3 + 2i)−4 + 19i = =. 3−2i(3−2i)(3 + 2i) 13

2.Num´erateuretde´nominateursontdesnombrescomplexesconnus,quel’onsaitmettre sous forme exponentielle :  √    4  ! ! √ 4 3 i −iπ 4 2− 3−i1e 2 2 6   =  √ √  = √ √ iπ 2 2 4 + 4i 4 2 2 4 2+ i e 2 2    4 4 1 11 1 π π −5iπ−20iπ iπ ( ) −i+ = √ e= √ e=e=e . 6 4 12 123 2 22 2 64 64

1

◦ Exercice n 3: SoitA(1) etB(2iqe´’itausenonodt´ecvfi´risieeseet(idtsenem)u.lLA, M)/d(B, M) = 1, c’est- a`-diresietseulementsid(A, M) = d(B, M) etM6=B. L’ensemble des points solutions est donc l’ensembledespoints´equidistantsdeAet deB[mentairt´mdesugecide’e.ClancdostAB].

◦ Exercice n 4: Ilestnaturelicid’essayerdeserapprocherdelaformuledubinˆomedeNewtonetd’utiliser i(x+ky) l’identite´cos(x+ky) =<[e]. Ainsi " # n   n n X XX n i(x+ky)i(x+ky) cos (x+ky) =<[e] =<ε k k=0k=0k=0 " #" # n X iy(n+1) e−1 ix ikyix =<e e=<e iy e−1 k=0 " # iy(n+1)/2iy(n+1)/2−iy(n+1)/2 e e−e ix =<e iy/2iy/2−iy/2 e e−e   2isin(y(n+ 1)/2) ix iyn/2 =<e e 2isin(y/2) h i sin(y(n+ 1)/2) i(x+yn/2) =<e sin(y/2) sin(y(n+ 1)/2) = cos(x+yn/2). sin(y/2)

◦ Exercice n 5:

2 2 1.Onpeututilisericil’identite´sinx= 1−cosx. Ainsi

2 22 22 4 (cosx)(sinx) = (cosx)(1−cosx) = cosx−cosx   2   4 ix−ix ix−ix e+e e+e =− 2 2 2ix−2ix4ix2ix−2ix−4ix e+ 2 +e e+ 4e+ 6 + 4e+e =− 4 16 1 + cos 2xcos 4x+ 4 cos 2x+ 3 =− 2 8 1 1 =−cos 4x+. 8 8

2. Ona sin(2xsin() = 2x) cos(x) et donc

2 23 sin(x) sin(2x) = 2sin (x) cos(x) = 2(1−cos (x)) cos(x) =−2 cos(x) + 2 cos(x).

2

De plus cos(3x) = cos(x+ 2x) = cos(x) cos(2x)−sin(x) sin(2x) et comme cos(2x) = 2 2 cos(x)−1 on a donc 2 3 cos(3x) = (2cos (x)−1) cos(x)−(−(2 cosx) + 2 cos(x)) 3 3 = 2cos (x)−cos(x) + 2 cos(x)−2 cos(x) 3 = 4cos (x)−3 cos(x). Finalement 3 3 cos(3x) sin(x) sin(2xcos () = (4x)−3 cos(x))(−(2 cosx) + 2 cos(x)) 6 4 4 2 =−(8 cosx() + 8 cosx() + 6 cosx)−(6 cosx) 6 42 =−8 cos(x() + 14 cosx)−(6 cosx).

◦ Exercice n 6:

2 1.Lessolutionsdel’´equationsontlesracinestroisi`emesdel’unite´1, j, j. 2.Oncherchelesracinescarre´esdunombrecomplexe−7 + 24i. En posantz=α+iβ, avec 2 22 2 (α, β)∈R, on az=α−β+ 2iαβr´eetiesetimllesedtnE.inptrafiinansoinagreai 2 22 22 2 obtientα−β=−7 et 2αβ= 24 (soitβ= 12/α). Comme|z|=|z|=α+βet comme √ √ 2 2 2 |z|=| −7 + 24i|= 7+ 24= 625= 25 on obtient donc 2 2 2 2 α+β+α−β25−7 2 α= 9= =. 2 2 Ainsiα∈ {−3,3}et les solutions sont donc z 1 = 3 + 4ietz 2 =−3−4i . 2 3. Ona (2+i) =3 + 4i. Ainsi 2 2 z−2(2 +i)z+ 10−20i=z−2(2 +i)z+ 3 + 4i+ 7−24i . | {z } 2 −(3+4i) 2 D’apre`slaquestionpr´ec´edente,comme−7 + 24i= (3 + 4ion a) , 2 22 z−2(2 +i)z+ 10−20i= (z−(2 +i))−(3 + 4i) = (z−2−i+ 3 + 4i)(z−2−i−3−4i) = (z+ 1 + 3i)(z−5−5i). Les solutions sont donc z 1 =−1−3ietz 2 = 5 + 5i . √ iπ/3 4. Ona 1+i3 = 2eet donc   −iπ−iπ 2iπ √ iπ 6 −4−4 6 iπ 3 33 9 √ = iπ =−2e= 2e e= 2e= 2e . 1 +i3 3 2e

3

zest donc solution si et seulement si z 6 Z= 1,avecZ= √ iπ . 6 2e 9 Un nombre complexezxeeemenseulsiettionmolprbcenemostlitsesauqe´’lednoituloZ ainside´finiestuneracine6-i`emedel’unite´,cequieste´quivalenta` n o 2ikπ 6 Z∈e ,k∈ {0, . . . ,5}.

L’ensemble des solutions est donc n o √ iπ ikπ + 6 9 3 2e ,k∈ {0, . . . ,5}.

2 5. Enposantz=x+iyavec (x, y)∈Ron obtient 2 22 z−z=¯ + 2x−y+ 2ixy−x+iy+ 2 = 0. Enidentifiantpartiesr´eellesetimaginairesonobtientlesyste`mesuivant:  2 2 x−y−x+ 2= 0 2xy+y= 0. Lasecondeligneest´equivalentea`   1 y x+ =0. 2 2 Siy0l=reap`emiere´uqtaoidnsusyt`emedevientx−x+ 2= 0, dont le discriminant est−rcfome´ena.Oncdouqte7tnpasddoncdmetin’aleelrne´tuoiselox=−1/2 et la 2 premi`ere´equationdusyste`medevientalorsy= 11/toitanosndel’´equolutions.4eLss donc √ √ 1 111 11 z 1 =− −ietz 2 =−+i . 2 22 2

◦ Exercice n 7:

k 1.Lesracinesn-ie`mesdel’unit´esontdelaformeω, aveck∈ {0, . . . , n−1}. Le produit demand´evautdonc n−1 n(n−1)   Y P n−1 n(n−1) 2 iπ 2 k ki(n−1)π n−1 k=0 2 n ω=ω=ω=e=e= (−1). k=0

p2ipπ/n p 2.Onaicilasommedestermesd’unesuitege´ome´triquederaisonω=e. Siω= 1, c’est-`a-diresipest un multiple den, alors la somme vautn. Sinon elle vaut

n−1 np X 1−ω p k (ω= 0) =. p 1−ω k=0

4

k n 3.End´eveloppant(1+ωedeNnˆomdubimulefaroaplr)evuortnonotwe n−1n−1n   X XX n k nkp (1 +ω) =ω p k=0k=0 p=0 n   n−1 X X n kp =ω . p p=0 k=0 | {z } α p

D’apr`eslaquestionpre´ce´dente,α p est non nul uniquement pourp= 0 etp=n, et vautn dans ces cas. On a donc n−1    X n n p k (ω) =n+n= 2n . 0n k=0

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