Codes Correcteurs d'Erreurs Cours 1 + Introduction + Codes linéaires en bloc

Marc Chaumont

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IntroductionLes codes lin´eaires en blocsCodes Correcteurs d’ErreursCours 1+ Introduction+ Codes lin´eaires en blocMarc ChaumontNovember 12, 2008Marc Chaumont IntroductionIntroductionLes codes lin´eaires en blocsSources”The Art of Correcting Coding”, Robert H. Morelos-Zaragoza,2002Cours de Pierre Abbrugiati, Universit´e de Nice,Cours de Marc Uro, INT Evry.Marc Chaumont IntroductionPr´eambuleIntroduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceLes codes lin´eaires en blocs Capacit´e de d´etection et de correction des erreursExercicePlan1 IntroductionPr´eambuleLes 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceCapacit´e de d´etection et de correction des erreursExercice2 Les codes lin´eaires en blocsD´efinitionMatrice g´en´eratrice et de v´erification de parit´eExerciceLe poids = la distance !Marc Chaumont IntroductionPr´eambuleIntroduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceLes codes lin´eaires en blocs Capacit´e de d´etection et de correction des erreursExerciceCode d´etecteur/correcteur d’erreurPar codes, on peut entendre plusieurs concepts distincts :les codes pour la cryptographie,les codes pour la compression,les codes pour la correction d’erreur.Dans ce cours, nous nous interessons uniquement aux codes cor-recteurs d’erreurs.Marc Chaumont IntroductionPr´eambuleIntroduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceLes codes lin´eaires en blocs ...

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Extrait

Introduction Lescodesline´airesenblocs

Codes Correcteurs d’Erreurs Cours 1 + Introduction Codesline´airesen

+

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Marc Chaumont

November 12, 2008

racCahmunotIntroduction

bloc

Sources

Introduction Lescodesline´airesenblocs

”The Art of Correcting Coding”, Robert H. Morelos-Zaragoza, 2002 CoursdePierreAbbrugiati,Universite´deNice, Cours de Marc Uro, INT Evry.

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scodesli uction Le nIrtdori3pes e L ulmbear´P scolbneseriae´n dimeeur,ongues:le`rtramauapxcnpi ectdneioioctreorerresedn crexE sru n,dinsioce Ca stan ´tdeapicettcdee´ ice aMcromtnhCua

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Lescodeslin´eairesenblocs D´efinition Matriceg´ene´ratriceetdeve´rificationdeparit´e Exercice Le poids = la distance !

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Introduction Pre´ambule Les3principauxparame`tres:longueur,dimension,distance Capacit´edede´tectionetdecorrectiondeserreurs Exercice

1

Plan

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Par codes, on peut entendre plusieurs concepts distincts : les codes pour la cryptographie, les codes pour la compression, ’ les codes pour la correction d erreur. Dans ce cours, nous nous interessons uniquement aux codes cor- recteurs d erreurs. ’

ntroduct prinLes3 bule´eam sc rP bnolerese´iainsldecoes n L ioctudortnI d´etectiacit´ede atcn C e pa isnod,si,durenimlos:ueng`marerteapicapxu

ocseL noitcudortnI el eL maubrPe´ olscsenbairein´edesldeontiecrseurrsenoitceterrocedte icecxEre etm`s:renglouruerp3sicnixuaparapnce Capacit´eded´ d,mineisnod,siat

Danslagrandemajorit´edescas,unetres´eodnnnoedsiisnamsse fait en utilisant une voie de communication qui n’estfi-ntite`erempsane able: lecanal de communication.

Constat

Bref,ilfautdesme´canismesdeetd´tiecedontiecrrcodeeton ces erreurs...

Autrement dit, les´eesdonn, lorsqu’elles circulent sur cette voie, sontssuectpbieldsˆ’terealt´er´ees.

oinudtcntroontIhaumarcCM

Sch´emaclassiquedelathe´oriedel’information

Figure:

Transmissionaveccodagede´tecteur/correcteurd’erreurs

oductionomtnnIrtaMcrhCua sr xEreicec rrectiondeserreud´etectionetdeco atcn C e pacatie´ed ,durenimonsiis,d`marerteol:seugnprinLes3uxpacipa sc rP bnol ubele´ma insldecosereai´e udortnI seL noitc

decoinsl ioct es n L tnIudorprinLes3 bule´eam sc rP bnolerese´ia enim,duruenglos:erte`marapxuapiconsiis,dncta ap e Cticaede´te´ditceonetdecorrectionedesrruesr xEreic plemEx ce alanecednummocednoitaci ahmuraCcMionductntroontI

Surinternet,(paquetsIP)lecodecorrecteurselimitea`la d´etectiondeserreurs(sommedecontrˆole).Lacorrectionest alorsrealis´eeparunenouvelledemandedetransmissiondumes-´ sage (protocole TCP). Danslecasdudisquecompact,leserreurspeuventeˆtrecaus´ees pardesrayuresoudesimpuret´esdusupport,ellessontmoins fre´quentesmaisbeaucoupplusvolumineuses.Lanormedela socie´t´ePhilipsimposelacapacit´edecorrectiond’erreursdans lecasd’unerayurede0,2millim`etre,danslapratique,lecode utilis´ecorrigejusqu’a`4096bitscons´ecutifssoitunerayurede plusdunmillim`etredelarge. ’ Communications sans fils : GSM, satelite, sous-marine...

CleCR depecedoe´ te rati erreurs Exercice E dtceroertcoidnse teecd’urreer:lurpmexedeledocte´d snoiidemue,rnouges:l`etraramauxp enoitcete´dede´tcipaCa ceanstdin, seil´nae no eLcsdo troductiInirp3picn lubm seL e s P oc ear´ esirblen cudonoit

lecodedeparite´: Ge´ne´ralement,onajoute`a7bitsdedonne´es1bitvalant1s’ilya unnombreimpairde1,et0sinon.Si`alar´eceptionundes8bits esterrone´,ilyade´tectiond’erreur. controˆlederedondancecyclique:CRC Less´equencesbinairessonttrait´eescommedespolˆesdontles ynom coefficientscorrespondenta`las´equencebinaire.Onajoute`ala s´equencebinairelerested’unedivisionpolynomiale(divisionparle ` polynˆomege´n´erateur).Alar´eceptionlerestedeladisisionrecuet ¸ lerestedeladivisioncalcul´edoiventcoincideroualorsilyaerreur de transmission.

MarcChaumontIntr

ititno nioctduronttIon

Techniquedede´codage: Lede´codagesefaitparvotemajoritaire.Parexemple,silemotre¸cu est001,alorsonde´duitquelebit´emis´etait0.

0→000 1→111

Technique de codage : Pourunbitd’information,3bitssontenvoye´s(cadcod´es)telsque :

ahmuraCcM roertcuedre’rruer:le codeder´ep´e icre xE ec lpmecedeedodte´eeucttcre noteceitrrceedocdesetionrs Ex rreu noisnemicnatsid, itacap e Cetd´de´e uxparam`principagneurud,teer:sol serelonbinslai´e elub 3seL rP sc mae´ Int ocedL n se tcoiorud

Lescodeslin´eair nIrtdocuitnor,digueuion,mensmae`pxral:nortse3pes e L ul auipncri colbnese bmae´rP s crci C e do erru E s ex iondeserecorrectoitcdtendedeete´paCat´ci stdicean sfitulovnocseodscsuersvocbles ucodonti

laquellelescodesblocnepouvaientpasˆetred´ecode´sdemani`ere”souple”.

Note2:Historiquement,lescodesconvolutifsont´et´epr´ef´er´espourleurde´codage”souple”etlacroyanceselon

Note3:Lesmeilleurscodesconnusa`cejour(de´butdu21e`mesi`ecle)sontlescodesblocs(i´uliers`afaibledensit´e rreg

Note1:Lechoixd’uncoded´ependdel’application.

codes blocs versus codes convolutifs Lescodescorrecteursd’erreur(ECC)peuventeˆtredivise´sen2 classes : les codes en bloc traitent chaque bloc d’information: Ils ind´ependammentlesunsdesautres.Chaquemotdecodeest inde´pendantdesautresmotsdecode. les codes convolutifsei’dnuoc:aLostrutold´ifurdenvconeped del’informationcourantea`coderainsiquedel’information pre´ce´denteetl’´etatducodeur.

deparit´e) aMcrhCuaomtnnIrt