Cours sur les probabilités conditionnelles

Description

Probabilit´es ConditionnellesCours1 Introductionauxprobabilit´esconditionnelles:fr´equencesconditionnellesExemple 1.Dans une classe de Terminale de 36 ´el`eves pratiquant l’Anglais ou l’Allemand en premi`erelangue, on compte :– 23 ´el`eves faisant de l’Anglais– 29 ´el`eves sont des filles– 17 ´el`eves sont des filles faisant de l’AnglaisOnconsid`erel’exp´erienceal´eatoireconsistanta`choisirun´el`eveauhasarddanscet´echantillon.Soit A l’´ev`enement ”L’´el`eve fait de l’Anglais”Soit B l’´ev`t ”L’´el`eve est une fille”On note A l’´ev`enement ”L’´el`eve fait de l’Allemand”On note B l’´ev`enement ”L’´el`eve est un garcon”¸1. R´esumer la situation en compl´etant le tableau des effectifs suivant :A A TotalB 17 29BTotal 23 362. (a) Calculer la fr´equence f de l’´ev`enement B dans cette classe (ie. la proportionBde filles dans la classe)(b) Calculer la fr´equence conditionnelle de B sachant A not´ee f (B) (ie. la propor-Ation de filles parmi les ´el`eves faisant de l’Anglais)3. (a) Calculer P(A).(b) On note A∩B l’´ev`enement ”L´el`eve est une fille faisant de l’Anglais”. CalculerP(A∩B)P(A∩B) puis .P(A)P(A∩B)4. Comparer f (B) et . Donner une explication.AP(A)16Probabilit´es Conditionnelles (cours) Terminales ES3, Lyc´ee AlainSolution 1A A TotalB 17 12 291.B 6 1 7Total 23 13 36292. (a) f(B) =16(b) On se restreint a` la colonne de A.17f (B) =A233. (a) On est dans une situation d’´equiprobabilit´e (il y a autant de chance de choisirun ´el`eve ...

Informations

• Publié par: Zolot
• Nombre de lectures: 73
• Langue: Français

Extrait

Probabilit´esConditionnelles Cours

1Introductionauxprobabilite´sconditionnelles:fr´equences conditionnelles Exemple 1. DansuneclassedeTerminalede36e´l`evespratiquantl’Anglaisoul’Allemandenpremi`ere langue, on compte : –23e´l`evesfaisantdel’Anglais –29´ele`vessontdesfilles –17´el`evessontdesfillesfaisantdel’Anglais Onconsid`erel’expe´rienceal´eatoireconsistanta`choisirun´el`eveauhasarddanscete´chantillon. Soit A l’e´v`enement”L’e´le`vefaitdel’Anglais” Soit B l’´ev`enement”L’e´le`veestunefille” On note A l’e´ve`nement”L’´el`evefaitdel’Allemand” On note B l’e´ve`nement”L’e´leveestungarc¸on” ` 1.Re´sumerlasituationencompl´etantletableaudeseffectifssuivant:

A A Total B 17 29 B Total 23 36 2.(a)Calculerlafr´equence f B de l’evenement B dans cette classe (ie. la proportion ´ ` de filles dans la classe) (b)Calculerlafr´equenceconditionnellede B sachant A note´e f A ( B ) (ie. la propor- tiondefillesparmiles´ele`vesfaisantdel’Anglais) 3. (a) Calculer P ( A ). (b) On note A ∩ B l’´eve`nement”Le´le`veestunefillefaisantdel’Anglais”.Calculer P ( A ∩ B ) puis P ( P A ( A ∩ ) B ) . 4. Comparer f A ( B ) et P ( A ∩ B ) P ( A ) .Donneruneexplication.

1

Probabilite´sConditionnelles (cours)

Solution 1

TerminalesES3,Lyc´eeAlain

A A Total B 17 12 29 1. B 6 1 7 Total 23 13 36 2. (a) f ( B )= 2 1 9 6 (b)Onserestreinta`lacolonnede A . f A ( B )= 1 2 7 3 3.(a)Onestdansunesituationd’´equiprobabilit´e(ilyaautantdechancedechoisir un´ele`vequ’unautre).Laprobabilit´ede A este´galea`l’effectifdesele`vesfaisant ´ del’Anglaisdivis´eparl’effectiftotald’´ele`ves: ( A ) 23 P = 36 (b)Laprobabilite´de A ∩ B est´egale`al’effectifde A ∩ B divise´parl’effectiftotal d’e´l`eves: 17 P ( A ∩ B ) 17 = P ( A ∩ B ) =  36 donc P ( A ) 23 nb A ∩ B 17 4. On a P ( P A ( A ∩ ) B ) = f A ( B ) car P ( P A ( A ∩ ) B ) = nb n t b o A tal = f ( f A ( A ∩ ) B ) = 2 36 3 . On simplifie nb total 36 parl’effectiftotald’e´le`ves. Pours’entraıˆner: http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/ proportions/proportions9.jsp

2Probabilit´esconditionnelles De´finition2.1 Soient A et B deuxe´ve`nementstelsque A soitdeprobabilite´nonnulle( ie. P ( A ) 6 = 0 ). On appelleprobabilite´conditionnellede B sachant A lenombrere´elnote´ P A ( B ) de´finipar: A ∩ B ) P A ( B ) = P ( P ( A )

Exemple 2. Dansunsacdedrage´es,60%desdrage´essontdecouleurbleue,30%desdrage´essontde couleurbleueeta`l’amandeet40%desdrag´eesbleuessontauchocolat. Onchoisitunedrag´eeauhasarddanslesac.Onnote: D.Be´diot http://www.carbone14.org/dbediot/ 2

Probabilit´esConditionnelles (cours)

Al’e´ve`nement”Ladrag´eeest`al’amande” Bl’e´venement”Ladrag´eeestbleue” ` Cl’e´ve`nement”Ladrag´eeestauchocolat”

TerminalesES3,Lyce´eAlain

1.Quelqu’unprendunedrage´ebleue,quelleestlaprobabilite´qu’ellesoitauchocolat? 2.Quelqu’unprendunedrag´eebleue,quelleestlaprobabilit´equ’ellesoit`al’amende? 3.Quelleestlaprobabilit´edeprendreunedrag´eebleueetauchocolat?

Solution 2 Traduisonslesdonn´eesdel’´enonc´e: P ( B ) = 0 , 6 P ( A ∩ B ) = 0 , 3 P B ( C ) = 0 , 4 Ceci nous permet d’obtenir : 1. ( P ( B ) 6 = 0 donc P B ( C ) estbiend´efinie)laprobabilit´ed’obtenirunedrage´eauchocolat sachantqu’elleestbleueestdonne´eparl’´enonc´e: P B ( C ) = 0 , 4 2. ( P ( B ) 6 = 0 donc P B ( A ) estbiend´efinie)laprobabite´d’obtenirunedrag´ee`al’amande sachant qu’elle est bleue : P B ( A ) = P ( P A ( ∩ B ) B ) = 0 0 , , 3 =0 , 5 6 3. ( P ( B ) 6 = 0 donc P B ( C ) estbiend´efinie)laprobabilite´deprendreunedrage´ebleueet au chocolat : P ( B ∩ C ) = P B ( C ) × P ( B ) = 0 , 4 × 0 , 6 = 0 , 24 Exercicere´solu1. Calculd’uneprobabilit´econditionnelle Onainterroge´dese´le`vesdeterminalesurleursloisirs:50%d’entreeuxde´clarentai- merlalectureet75%de´clarentaimerlesport. Deplus,40%dese´l`evesd´eclarentaimerlalectureetlesport. Onrencontreauhasardl’undecese´l`eves.Onconsid`ereles´eve`nements L :”L’´el`eveaime la lecture” et S :”L’´el`eveaimelesport” 1.Donnerlesprobabilit´esdese´ve`nements L , S et L ∩ S 2.Quelleestlaprobabilit´equel’e´l`eveaimelesportsachantqu’ilaimelalecture? 3.Quelleestlaprobabilite´quel’´el`eveaimelalecturesachantqu’ilaimelesport?

Solution de l’exe ic ´solu 1 rc e re

1.Cettequestionestunetraductiondesdonn´eesdel’exercice.Ona: P ( L ) = 0 , 5 ; P ( S ) = 0 , 75 ; P ( L ∩ S ) = 0 , 4 .

D.Be´diot http://www.carbone14.org/dbediot/ 3