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Correction des exercices———————–Probabilit´esVersion du 11 avril 2008Universit´e Paul Sabatier - Toulouse 3IUT de Toulouse 3 AD´epartement GEA RangueilNicolas SAVYnicolas.savy@iut-tlse3.frBureau 1071 D´enombrementsCorrection Exercice 1Pas de remise, on tient compte de l’ordre donc c’est un arrangement.4Il y a A = 10×9×8×7 = 5040 mots diff´erents.10Correction Exercice 2Il n’est pas interdit que les lettres puissent se r´ep´eter donc il s’agit de p-listes.3Il y a 5 = 125 mots possibles.Correction Exercice 3Pas de remise, on tient compte de l’ordre donc c’est un arrangement.3Pour le tierc´e, il y a A = 8×7×6 = 336 possibilit´es.84Pour le quart´e, il y a A = 8×7×6×5 = 1680 possibilit´es.8Correction Exercice 4Il y a remise, on tient compte de l’ordre donc c’est une p-liste. Pour chaque chiffres du nombre,4j’ai 3 possibilit´es. Il y a donc 3 = 81 possibilit´es.Correction Exercice 5Pas de remise, on ne tient pas compte de l’ordre donc ce sont donc des combinaisons.51. On choisi 5 cartes parmis 32, il y a C = 201376 possibilit´es.322 32. Il faut choisir 2 coeurs parmi 8, puis 3 cartes parmi les 24 restantes : il y a donc C ×C =8 2456672 possibilit´es.3. Il est plus simple de calculer le nombre de mains de 5 cartes ne contenant aucun roi, cela5revient a` prendre 5 cartes parmi les 28 restantes : il y a C possibilit´es. Le nombre total de285mains de cinq cartes est C et donc le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins325 5un roi est C −C = ...
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Correction des exercices
———————–
Probabilit´es
Version du 11 avril 2008
Universit´e Paul Sabatier - Toulouse 3
IUT de Toulouse 3 A
D´epartement GEA Rangueil
Nicolas SAVY
nicolas.savy@iut-tlse3.fr
Bureau 1071 D´enombrements
Correction Exercice 1
Pas de remise, on tient compte de l’ordre donc c’est un arrangement.
4Il y a A = 10×9×8×7 = 5040 mots diff´erents.10
Correction Exercice 2
Il n’est pas interdit que les lettres puissent se r´ep´eter donc il s’agit de p-listes.
3Il y a 5 = 125 mots possibles.
Correction Exercice 3
Pas de remise, on tient compte de l’ordre donc c’est un arrangement.
3Pour le tierc´e, il y a A = 8×7×6 = 336 possibilit´es.8
4Pour le quart´e, il y a A = 8×7×6×5 = 1680 possibilit´es.8
Correction Exercice 4
Il y a remise, on tient compte de l’ordre donc c’est une p-liste. Pour chaque chiffres du nombre,
4j’ai 3 possibilit´es. Il y a donc 3 = 81 possibilit´es.
Correction Exercice 5
Pas de remise, on ne tient pas compte de l’ordre donc ce sont donc des combinaisons.
51. On choisi 5 cartes parmis 32, il y a C = 201376 possibilit´es.32
2 32. Il faut choisir 2 coeurs parmi 8, puis 3 cartes parmi les 24 restantes : il y a donc C ×C =8 24
56672 possibilit´es.
3. Il est plus simple de calculer le nombre de mains de 5 cartes ne contenant aucun roi, cela
5revient a` prendre 5 cartes parmi les 28 restantes : il y a C possibilit´es. Le nombre total de28
5mains de cinq cartes est C et donc le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins32
5 5un roi est C −C = 103096.32 28
Onpeut´egalementcalculerdirectementlenombredemainsdecinqcartescontenantaumoins
un roi :
1 4– nombre de mains de cinq cartes contenant exactement un roi : C ×C = 81900.4 28
2 3– nombre de mains de cinq cartes contenant exactement deux rois : C ×C = 19656.4 28
3 2– nombre de mains de cinq cartes contenant exactement trois rois : C ×C = 1512.4 28
4 1– nombre de mains de cinq cartes contenant exactement quatre rois : C ×C = 28.4 28
donc le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins un roi est 81900+19656+1512+
28 = 103096.
Correction Exercice 6
Pas de remise, on ne tient pas compte de l’ordre donc ce sont donc des combinaisons. Il y a
4C = 210 grilles possibles.10
26
6
2 Probabilit´es
Correction Exercice 1
4 1– P[A] = = il y a 4 rois.32 8
8 1– P[B] = = il y a 8 tr`efles.
32 4
16 1– P[C] = = il y a 16 cartes noires.32 2
7– P[A] = 1−P[A] = .
8
3– P[B] = 1−P[B] = .
4
1– P[C] = 1−P[C] = .2
1– P[A∩B] = c’est le roi de tr`efle.
32
1– P[B∩C] = ce sont les tr`efles (ils sont noirs).
4
1– P[A∩B∩C] = c’est le roi de tr`efle.32
1 1 1 11– P[A∪B] =P[A]+P[B]−P[A∩B] = + − = .
8 4 32 32
1 1 1 1– P[B∪C] =P[B]+P[C]−P[B∩C] = + − = .4 2 4 2
18– P[A∪B∪C] = Dans les cas favorables, il y a les 16 cartes noirs plus les deux rois rouges32
donc 18.
Correction Exercice 2
1. R∩E d´esigne l’ensemble des ´etudiants qui font russe et espagnol, R∪I ceux qui font russe
ou italien, I ceux qui ne font pas d’italien et I∩E ceux qui ne font ni espagnol ni italien.
2. – Les ´el`eves qui font russe et espagnol : R∩E.
– Les ´el`eves qui ne parlent aucune des trois langues : R∩E∩I.
– Les ´el`eves qui parlent au moins une des trois langues : R∪E∪I.
3. On num´erote de 1 `a 5 les assertions de la colonne de gauche et de A a` E celles de droite.
1E, 2D, 3A, 4C, 5B.
Correction Exercice 3
1 1 1 1– P[X pair ] =P[X = 2 ou X = 4 ou X = 6] =P[X = 2]+P[X = 4]+P[X = 6] = + + = .6 6 6 2
2 1– P[X multiple de 3] =P[X = 3 ou X = 6] = = .6 3
3 1– P[X > 3] =P[X = 4 ou X = 5 ou X = 6] = = .
6 2
2 1– P[X pair et X > 3] =P[X = 4 ou X = 6] = = .6 3
Correction Exercice 4
3 1 3 21. P[A].P[B] = . = =P[A∩B] = les ´ev´enements ne sont pas ind´ependants.4 2 8 5
P[A∩B] = 0 les ´ev´enements ne sont donc pas incompatibles.
¯ ¯ ¯2. C =A∪B, D =A∩B, E =A∩B, F =A∩B, G = (A∪B)−(A∩B).
3 1 2 173. – P[C] =P[A]+P[B]−P[A∩B] = + − = .4 2 5 20
2– P[D] = .5
3¯ ¯– P[E] = 1−P[A∩B] = 1−P[A∪B] = 1−P[C] = .
20
3–
¯
P[F] = 1−P[A∩B]
¯= 1−P[A∪B]
5
= 1−
6
1
=
6

P[G] =P[A∪B]−P[(A∩B)]
=P[C]+P[A∩B]−1
17 2
= + −1
20 5
1
=
4
Correction Exercice 5
31. Nombre de cas possible : 4 = 64.
12. (a) Nombre de cas favorable : 1 donc la probabilit´e est .64
1(b) Nombre de cas favorable : 4 donc la probabilit´e est .16
1(c) Nombre de cas favorable : 16 donc la probabilit´e est .4
Correction Exercice 6
31. Probabilit´e qu’une pi`ece soit d´efectueuse : .10
333 32. (a) Nombre de cas possible : 10 , Nombre de cas favorable 3 donc la probabilit´e est .310
3(b) Nombre de cas possible : C = 120, Nombre de cas favorable 1 donc la probabilit´e est10
1 .120
3 Probabilit´es conditionnelles
Correction Exercice 1
1. Il suffit de lire l’´enonc´e :
P[A] = 0,2, P[B] = 0,3, P[C] = 0,5
2. Le point essentiel est que{A,B,C} forme une partition de l’espace.
Premi`ere formule des probabilit´es totales nous dit que :
P[A]+P[B]+P[C] = 1,
et donc pour tout ´ev´enement I on a :
P[I] =P[A∩I]+P[B∩I]+P[C∩I].
4La second est en terme de probabilit´e conditionnelle :
P[I] =P[I|A]P[A]+P[I|B]P[B]+P[I|C]P[C].
3. L’application num´erique donne :
P[I] = 0,027.
4. La formule de Bayes donne :
P[I|A]P[A]
P[A|I] =
P[I]
et
¯P[I|C]P[C]¯
P[C|I] = ¯
P[I]
5. L’application num´erique donne
P[A|I] = 0,37.
6.
(1−P[I|C])P[C]¯
P[C|I] =
1−P[I]
= 0,51.
Correction Exercice 2
OnnoteV l’´ev´enementfabriqu´eparVincentetD l’´ev´enementlapi`eceestd´efectueuse.Laproba-
¯bilit´echerch´eeestP[V|D].Cetteprobabilit´en’estpasd´eterminabledirectementpard´enombrement.
Cependant, la formule de Bayes nous dit :
¯P[D|V]P[V]
¯P[V|D] =
¯P[D]
Reste a` d´eterminer chacune des 3 probabilit´es.
P[V] est facile `a d´eterminer puisque Vincent a fabriqu´e 1800 des 6000 pi`eces au total donc :
1800
P[V] =
6000
P[D] est facile a` d´eterminer ´egalement puisqu’au total il y a 218 pi`eces d´efectueuses sur les 6000
pi`eces au total donc :
218
P[D] =
6000
5782¯
P[D] =
6000
Enfin, sachant que la pi`ece a ´et´e fabriqu´e par Vincent, donc parmis les 1800 pi`eces, il y a 90
d´efectueuses donc :
90
P[D|V] =
1800
1710¯
P[D|V] =
1800
On a donc
¯P[V|D] = 0,296.
5Correction Exercice 3
On note M l’´ev´enement le patient est malade et T l’´ev´enement le test est positif.
La probabilit´e cherch´ee est P[M|T]. Cette probabilit´e n’est pas d´eterminable directement par
d´enombrement. Cependant, la formule de Bayes nous dit :
P[T|M]P[M]
P[M|T] =
P[T]
L’´enonc´e nous assure que :
P[T|M] = 0,99,
¯
P[T|M] = 0,02,
P[M] = 0,001.
Pour appliquer la formule de Bayes, il nous faut connaˆıtre P[T]. Pour ce faire, la formule des
probabilit´es totales nous dit que :
¯ ¯
P[T] =P[T|M]P[M]+P[T|M]P[M],
= 0,02097.
Et donc
P[M|T] = 0,047.
Remarque 1 On peut ´egalement utiliser la formule de Bayes II du cours, c’est exactement la
mˆeme chose.
Le r´esultat peut paraˆıtre surprenant le test paraissait plutˆot bon, mais la maladie est rare et la
probabilit´e conditionnelle est une moyenne pond´er´ee, les r´esultat sont souvent contraire a` ce que
l’on attendait.
A titre d’illustration, si P[M] = 0,01, P[M|T] = 0,33 et si P[M] = 0,05, P[M|T] = 0,72.
Correction Exercice 4
¯On note A l’´ev´enement la graine vient de A, B = A l’´ev´enement la graine vient de B et N
l’´ev´enement la graine est noire.
La probabilit´e cherch´ee est P[A|N].
L’´enonc´e nous assure que :
1
P[A] = ,
3
2
P[B] = ,
3
1
P[N|A] = ,
2
3
P[N|B] = .
4
La formule de Bayes nous dit :
P[N|A]P[A]
P[A|N] =
P[N]
6Pour appliquer la formule de Bayes, il nous faut connaˆıtre P[N]. Pour ce faire, la formule des
probabilit´es totales nous dit que :
P[N] =P[N|A]P[A]+P[N|B]P[B],
2
= .
3
Et donc
1
P[A|N] = .
4
Correction Exercice 5
On note C l’´ev´enement l’ampoule est conforme et T l’´ev´enement le test est positif.
L’´enonc´e nous assure que :
P[C] = 0,92,
¯P[C] = 0,08,
¯
P[T|C] = 0,96 et donc P[T|C] = 0,94,
¯ ¯ ¯
P[T|C] = 0,94 et donc P[T|C] = 0,06,
1. La formule de Bayes nous dit :
P[T|C]P[C]
P[C|T] =
P[T]
Pour appliquer la formule de Bayes, il nous faut connaˆıtreP[T]. Pour ce faire, la formule des
probabilit´es totales nous dit que :
¯ ¯P[T] =P[T|C]P[C]+P[T|C]P[C],
= 0,8864.
Et donc
P[C|T] = 0,99.
2. La formule de Bayes nous dit :
¯ ¯ ¯P[T|C]P[C]¯ ¯
P[C|T] = ¯
P[T]
¯Pour appliquer la formule de Bayes, il nous fautP[T] = 1−P[T] = 0,1136. Et donc
¯ ¯
P[C|T] = 0,67.
Correction Exercice 6
¯On note A l’´ev´enement la pi`ece a ´et´e cr´e´ee dans l’atelier 1, A =A la pi´ece a ´et´e cr´e´ee dans1 2 1
l’atelier 2 et D l’´ev´enement la pi`ece est d´efectueuse.
71. Il est facile de voir que :
2
P[A ] = ,1
3
1
P[A ] = .2
3
2. L’´enonc´e nous pr´ecise ´egalement que
P[D|A ] = 0,03,1
P[D|A ] = 0,04.2
La formule des probabilit´es totales nous permet d’´ecrire :
P[D] =P[D|A ]P[A ]+P[D|A ]P[A ],1 1 2 2
= 0,033.
3. La formule de Bayes nous dit :
P[D|A ]P[A ]1 1
P[A |D] = = 0,6.1
P[D]
Correction Exercice 7
L’´enonc´e nous dit que
1. P[M ] = 0,15,a
2. P[M |M ] = 0,2,b a
3. P[M |M ] = 0,04.b a
Maintenant, en utilisant la d´efinition de la probabilit´e conditionnelle, on obtient :
4. P[M ∩M ] =P[M |M ]P[M ] = 0,03,b a b a a
5. P[M ∩M ] =P[M |M ]P[M ] = 0,034.b a b a a
La formule des probabilit´es totales nous permet d’´ecrire :
6. P[M ] =P[M ∩M ]+P[M ∩M ] = 0,064.b b a b a
Enfin la formule de Bayes nous autorise a` ´ecrire :
P[M |M ]P[M ]b a a7. P[M |M ] = = 0,4688.a b
P[M ]b
Correction Exercice 8
On consid`ere les ´ev´enements S l’´etudiant A r´eussi l’examen, S l’´etudiant B r´eussi l’examenA B
et S l’´etudiant C r´eussi l’examen. C’est ´ev´enement sont ind´ependants et l’´enonc´e nous dit queC
P[S ] = 0,7, P[S ] = 0,4 etP[S ] = 0,6.A B A
1. La probabilit´e que les 3 soient re¸cus est, par ind´ependance :
P[S ∩S ∩S ] =P[S ]×P[S ]×P[S ] = 0,168.A B C A B C
82. La probabilit´e que les trois ´echouent :
P[S ∩S ∩S ] =P[S ]×P[S ]×P[S ] = 0,072.A B C A B C
3. La probabilit´e que A seulement soit re¸cus :
P[S ∩S ∩S ] =P[S ]×P[S ]×P[S ] = 0,168.A B C A B C
4. La probabilit´e qu’un seul r´eussise :
P[(S ∩S ∩S )∪(S ∩S ∩S )∪(S ∩S ∩S )]A B C A B C A B C
=P[S ∩S ∩S ]+P[S ∩S ∩S ]+P[S ∩S ∩S ]A B C A B C A B C
=P[S ]×P[S ]×P[S ]+P[S ]×P[S ]×P[S ]+P[S ]×P[S ]×P[S ]A B C A B C A B C
= 0,324.
5. La probabilit´e que B soit le seul `a ´echouer :
P[S ∩S ∩S ] =P[S ]×P[S ]×P[S ] = 0,252.A B C A B C
6. La probabilit´e qu’exactement deux soient re¸cus :
P[(S ∩S ∩S )∪(S ∩S ∩S )∪(S ∩S ∩S )]A B C A B C A B C
=P[S ∩S ∩S ]+P[S ∩S ∩S ]+P[S ∩S ∩S ]A B C A B C A B C
=P[S ]×P[S ]×P[S ]+P[S ]×P[S ]×P[S ]+P[S ]×P[S ]×P[S ]A B C A B C A B C
= 0,426.
7. La probabilit´e qu’au moins un soit re¸cus :
P[S ∩S ∩S ] = 0,928A B C
Correction Exercice 9
Consid´erons R l’´ev´enement la face que je vois est blanche et V la face que je ne vois pas est
blanche.
L’´ev´enement R∩V correspond a` l’´ev´enement la face que je vois est blanche et la face que je ne
1vois pas est blanche. Ce sont donc les jetonsA etB et par cons´equent,P[R∩V] = . D’autre part,
2
5la probabilit´e de l’´ev´enement R est ´egal `a en effet, il y a 5 faces blanches au total sur les 8 faces8
au total.
par cons´equent, la probabilit´e recherch´ee
1
P[R∩V] 42
P[V|R] = = =
5
P[R] 5
8
2L’intuition aurait donn´ee .
3
94 Variables al´eatoires
Correction Exercice 1
– A ={1;2;3;4} et donc P[A] =P[1]+P[2]+P[3]+P[4] = 0,1+0,2+0,3+0,2 = 0,8.
– B ={4;5;6} et donc P[B] =P[4]+P[5]+P[6] = 0,2+0,1+0,1 = 0,4.
– C ={1;2;3} et donc P[C] =P[1]+P[2]+P[3] = 0,1+0,2+0,3 = 0,6.
– A∩B ={4} et donc P[A∩B] =P[4] = 0,2.
– A∩C ={1;2;3} et donc P[A∩C] =P[1]+P[2]+P[3] = 0,1+0,2+0,3 = 0,6.
– B∩C =∅ et donc P[B∩C] = 0.
Correction Exercice 2
1.
E[X] = 0×0,1+1×0,3+2×0,4+3×0,1+4×0,05+5×0,05,
= 1,85.

2 2 2 2 2 2 2
E X = 0 ×0,1+1 ×0,3+2 ×0,4+3 ×0,1+4 ×0,05+5 ×0,05,
= 4,85,
22
V[X] =E X −E[X] ,
= 1,4275.
2. La fonction de r´epartition est :
x 0 1 2 3 4 5
F (x) 0.1 0.4 0.8 0.9 0.95 1X
Fig. 1 – Repr´esentation graphique de F de l’exercice 2.X
3. P[X < 4] =F (3) = 0,9.X
P[X > 2] = 1−F (2) = 0,2.X
P[3<X ≤ 4.5] =P[X = 4] = 0,05.
P[2≤X < 4] =P[X = 2]+P[X = 3] = 0,5.
P[2<X < 4] =P[X = 3] = 0,1.
10

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