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• Publié par: m.moustapha97
• Publié le: 09 janvier 2017
• Nombre de lectures: 6
• Langue: Français

Extrait

Calculs de primitives et d’intégrales
Dans ce chapitre,on abordeexclusivementlescalculs de primitives ou d’intégralescomme le prévoitle programmeofficiel.
La théorie de l’intégration est repoussée au deuxième semestre.
Plan du chapitre
1 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments .....................................page 2
1.1 Primitives ...............................................................................................page 2
1.2 Formulaires de primitives usuelles........................................................................page 2
1.3 Intégrales................................................................................................page 6
1.4 Intégrale fonction de la borne supérieure ................................................................. page 7
2 La formule d’intégration par parties.....................................................................page 9
3 Changements de variable................................................................................page 11
3.1 La formule de changement de variables .................................................................page 11
3.2 Quelques applications ..................................................................................page 13
4 Quelques situations usuelles.............................................................................page 14
1
4.1 Primitives de , a = 0 ......................................................................page 14
2ax +bx+c
4.2 Primitives de fonctions transcendantes dont la dérivée est algébrique (ln, Arcsin, Arctan, ...)............page 15
4.3 Produit d’une exponentielle et d’un polynôme...........................................................page 15
4.4 Produit d’une exponentielle et d’un sinus ou d’un cosinus ...............................................page 16
4.5 Polynômes trigonométriques ............................................................................page 16
4.6 Fractions rationnelles en sinx, cosx et tanx ............................................................page 17
x4.7 Fractions rationnelles en e , chx, shx et thx ...........................................................page 18
c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr
61 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments
1.1 Primitives
Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I deR. Une primitive de f sur I est une fonctionF dérivable
′sur I telle que F = f.
2 2Par exemple, les fonctions F : x→x et F : x→x +1 sont deux primitives de la fonction f : x→2x surR.1 2
On admet pour l’instant le théorème suivant :
Théorème 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I deR, à valeurs dansR (resp.C).
1) Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet au moins une primitive sur I.
2) Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x→ F(x) +C où C ∈R
(resp.C).
3) Pour tout (x ,y )∈ I×R (resp. I×C), il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F(x ) = y .0 0 0 0
➱ Commentaire. Il ne faut pas considérer le 1) comme une anecdote. Il existe des fonctions très simples qui n’admettent pas
de primitive. Considérons par exemple, la fonction f : [0,1] → R où E(x) désigne la partie entière du réel x.
x → E(x)
1
1

0 si 06 x <1
Pour tout x de [0,1], on a f(x) = . Supposons par l’absurde que la fonction f admette une primitive F sur [0,1]. F
1 si x =1
est une fonction dérivable sur [0,1], de dérivée nulle sur [0,1[. Donc, F est constante sur [0,1[. Mais F étant dérivable sur [0,1], F est
en particulier continue sur [0,1]. Puisque F est constante sur [0,1[ et continue sur [0,1], F est constante sur [0,1]. Mais alors, puisque
′F est constante sur [0,1], sa dérivée F est nulle sur [0,1] ou encore f est nulle sur [0,1] ce qui n’est pas. La fonction f n’admet donc
pas de primitive sur [0,1].
1.2 Formulaires de primitives usuelles
On récupère les formules de dérivées des chapitres antérieurs et on les inverse. On obtient les formulaires de primitives
ci-dessous. Le premier concerne les « fonctions puissances ».
Fonction Une primitive Intervalle Commentaire
n+1xnx R n∈N
n+1
1
ln(x) ]0,+∞[
x
1 1 +∗ −∗− R ouR n∈N \ {0,1}
n n−1x (n−1)x
1 √
√ 2 x ]0,+∞[
x
α+1xαx ]0,+∞[ α∈R \ {−1}
α+1
Le deuxième formulaire concerne les « fonctions exponentielles» et apparentées.
c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr
777bb77Fonction Une primitive Intervalle Commentaire
x xe e R
1zx zx ∗e e R z∈C
z
xa
xa R a> 0 et a =1
lna
shx chx R
chx shx R
1 2
= 1−th x thx R2
ch x
thx ln(chx) R
Le troisième concerne la « trigonométrie circulaire».
Fonction Une primitive Intervalle Commentaire
cosx sinx R
sinx −cosx R
i h1 π π
2= 1+tan x tanx − +kπ, +kπ k∈Z
2cos x 2 2
1 2− = −1−cotan x cotanx ]kπ,(k+1)π[ k∈Z
2sin x
tanx −ln|cosx|

1 x
ln tan
sinx 2