These de Doctorat de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de Doctorat de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Theoremes d'annulation pour la cohomologie des fibres vectoriels amples Laurent Manivel preparee a l'Institut Fourier laboratoire de mathematiques, UMR 5582 du C.N.R.S. soutenue a Grenoble le mardi 9 juin 1992 devant le jury : President : Joseph Le Potier (Universite de Paris VII) Examinateurs : Michel Brion (Universite Joseph Fourier) Jean-Pierre Demailly (Universite Joseph Fourier), dir. these Paul Gauduchon (College de France) Alain Lascoux (Universite de Paris VII)

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Sujets

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Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 juin 1992
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 54 Mo

Extrait

Thèse de Doctorat de l’Université Joseph Fourier (Grenoble I)

Théorèmes d’annulation pour la cohomologie des fibrés vectoriels amples

Laurent Manivel

préparée à l’Institut Fourier laboratoire de mathématiques, UMR 5582 du C.N.R.S.

soutenue à Grenoble le mardi 9 juin 1992 devant le jury :

Président: Examinateurs:

Joseph Le Potier (Université de Paris VII) Michel Brion (Université Joseph Fourier) JeanPierre Demailly (Université Joseph Fourier), dir. thèse Paul Gauduchon (Collège de France) Alain Lascoux (Université de Paris VII)

Mes remerciements vont d’abord à JeanPierre Demailly, dont les conseils, les critiques, l’enthousiasme aussi, m’auront été précieux tout au long de ces dernières années. Avoir supporté, stöıquement, les maux de tête que lui aura parfois occasionné la lecture de cette thèse, appelle toute ma reconnaissance ! Je remercie sincèrement Joseph Le Potier de présider le jury, et Paul Gauduchon d’y par ticiper, quelques années après avoir, très amicalement, accompagné mes tous premiers pas dans la recherche mathématique. Michel Brion et Alain Lascoux ont plus d’une fois éclairé ma lanterne, et cette thèse aura, je crois, beaucoup profité de leurs remarques : je leur suis reconnaissant d’avoir eux aussi accepté de se joindre au jury. Enfin, je suis redevable à Arlette GuttinLombard d’avoir mis la dernière main à ce texte, et ce avec la plus grande gentillesse.

Introduction

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1.

De nombreux problèmes de géométrie algébrique font intervenir des théorèmes d’annulation pour la cohomologie des fibrés vectoriels holomorphes. L’archétype en est certainement le théorème de KodairaNakano pour les fibrés en droites amples, dont se déduisent la plupart des résultats connus pour les fibrés vectoriels amples de rang arbitraire. Parmi les plus fameux de ceuxci, les théorèmes de Griffiths et de Le Potier s’appliquent respec tivement aux puissances symétriques et extérieures d’un fibré vectoriel holomorpheE, ample, de rangd, sur une variété complexe compacteXde dimensionn:

(1) (2) (3) (4)

n,q k H(X, S E⊗detE) = 0 p,q H(X, E) = 0 p,q k H(X,∧E) = 0 n,q k H(X,∧E) = 0

siq >0, sip+q≥n+d, sip+q > n+k(d−k), siq > d−k.

Le premier de ces énoncés a été publié par Griffiths en 1969, les trois suivants par Le Potier en 1975 et 1977. Plus récemment, en 1988, JeanPierre Demailly a établi différents théorèmes concernant la cohomologie d’un fibré vectoriel associé au fibréE, de poids posi tif décroissantaquelconque, tensorisé par une puissance assez grande de son déterminant: sous les mêmes hypothèses que précédemment,

(5) (6)

n,q a l H(X,ΓE⊗(detE) ) = 0 p,q a l H(X,ΓE⊗(detE) ) = 0

siq >0 etl≥h(a), sip+q > netl≥d−1 +n−p,

oùh(a) est le nombre de composantes non nulles du poidsa.

Si le premier de ces énoncés est une conséquence directe du théorème de Griffiths, il n’en est pas de même du second, dont la démonstration nécessite une étude détaillée de la suite spectrale, dite de BorelLe Potier, associée aux différentes variétés de drapeaux du fibré vectorielE, et aux fibrés en droites homogènes canoniquement définis sur ces variétés. Se posait en conséquence la question de l’existence d’une éventuelle dégénérescence de cette suite spectrale. Peternell, Le Potier et Schneider ayant montré qu’en général, on ne pouvait s’attendre à une dégénérescence enE 1 , JeanPierre Demailly suggéra que cette dégénérescence pourrait, au moins dans le cas des fibrés amples, intervenir enE 2 : résultat dans lequel on aurait pu voir un analogue de la dégénérescence enE 2 , établie par Blanchard, de la suite spectrale de Leray pour les submersions kähleriennes. Notre premier objectif fut donc de vérifier cette dégénérescence dans le cas, relativement simple, des grassmanniennes.

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2.

La grassmannienne, variété compacte homogène sous l’action du groupe linéaire, possède la particularité, parmi les variétés de drapeaux, d’avoir un fibré tangent irréducti ble sous l’action du groupe parabolique associé, et dont les puissances extérieures peuvent se décomposer en somme holomorphe de produits tensoriels de fibrés associés aux fibrés tautologique et quotient naturellement définis sur cette variété. Ceci permet par exem ple d’expliciter la cohomologie de Dolbeault de n’importe quel fibré associé à ces fibrés quotient et tautologique, selon une méthode diagrammatique essentiellement dûe à Snow (qui se restreint cependant au cas des puissances du déterminant de ce fibré), et qui permet de se ramener à des problèmes de pure combinatoire: une présentation détaillée de cette méthode est donnée au premier chapitre de cette thèse. On peut ainsi retrouver le théorème de Kodaira pour les puissances positives du déterminant du fibré quotient, obtenir un énoncé analogue pour ses puissances symétri ques, et vérifier l’optimalité des théorèmes de Griffiths, Le Potier, et du premier résultat de Demailly. Pour ce qui est du second de ces résultats, on peut démontrer sur la grassmannienne un énoncé plus précis, qui semble être une généralisation naturelle du précédent, et que JeanPierre Demailly fut amené à conjecturer pour les fibrés amples quelconques:

ConjectureSiEest un fibré vectoriel holomorphe de rangd,Lun fibré en droites sur un variété complexe compacteXde dimensionn, siEest ample etLnef, ouEnef et Lample, alors  p,q a l p+q > n, H(X,ΓE⊗(detE)⊗L) = 0si l≥h(a) + min(n−p, n−q).

Théorèmeet Pr. (Th. 5.3.1 2.3.1, première partie)Cette conjecture est vraie siX= G r (V)est la grassmannienne des sousespaces de codimensionrd’un espace vectoriel complexeV, siE=Qest le fibré quotient sur cette variété, et siL=detQ. Autrement dit, siaest un poids positif décroissant,  l p+q > n, p,q a H(G r (V),ΓQ⊗(detQ) ) = 0si l > h(a) + min(n−p, n−q).

Quant à la suite spectrale de BorelLe Potier, on est amené à repondre par la négativ alaquestionposéeparJeanPierreDemail è ly.Parexemple,sil’onnoteO Q (1) le fibré ∗ en droites quotient naturellement défini sur la variétéIP(Q) des hyperplans du fibré quotientQ, etO Q (k) sakième puissance tensorielle:

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Proposition(Pr. 6.3.5, première partie)Si les entiersretksont suffisamment grands, silest un entier strictement positif, et sid=rl+k, la suite spectrale de BorelLe ∗l Potier associée au fibré en droites ampleO Q (k)⊗π(detQ)et à la projection naturelle ∗ π:IP(Q)−→G r (V), ne dégénère pas enE 2 .

3.

L’interêt de la grassmannienne n’est pas seulement d’être une mine d’exemples et de contreexemples: les propriétés cohomologiques du fibré quotient sur cette variété interviennent par exemple de manière essentielle dans les démonstrations des théorèmes de Le Potier. On aura d’ailleurs remarqué que le premier, bien qu’optimal, est en degré maximal beaucoup moins précis que le second. L’étude de la cohomologie de Dolbeault des puissances extérieures du fibré quotient sur la grassmannienne permet cependant d’établir un théorème d’annulation pour les puissances extérieures d’un fibré ample, qui fait le lien entre les énoncés (3) et (4) de Le Potier:

Théorème(Th. 1.1.1, deuxième partie)SoitEun fibré vectoriel holomorphe de rang d, ample, sur une variété complexe compacteXde dimensionn. Alors

p,q k H(X,∧E) = 0

si p+q > n+ min(k, n−p+ 1, n−q+ 1)(d−k).

Incidemment, la démonstration de ce résultat permet de prouver que la suite spectrale de BorelLe Potier, même si l’on se restreint aux fibrés amples, ne dégénère uniformément enE r pour aucune valeur, aussi grande soitelle, de l’entierr. Une très légère variante de cette démonstration permet également de généraliser le théorème de Griffiths sous la forme suivante:

Théorème(Th. 1.1.2)Sous les mêmes hypothèses,

p,q k H(X, S E⊗detE) = 0

4.

si q >(k+ 1)(n−p).

D’autre part, les résultats obtenus sur la grassmannienne laissent espérer que l’on puisse améliorer le second des théorèmes d’annulation de JeanPierre Demailly. Pour ce faire, une étude poussée de la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites homogènes sur les variétés de drapeaux parâıt indispensable. Cependant, si l’on excepte le cas

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des grassmanniennes, ces groupes de cohomologie sont d’un calcul extrêmement délicat. Certaines de leurs propriétés, que l’on n’a pu vérifier que par l’intermédiaire de la suite spectrale de BorelLe Potier et de pénibles raisonnements combinatoires, permettent cependant d’établir, entre autres, le résultat suivant:

Théorème(Th 2.1.2, deuxième partie)SoitEun fibré ample de rangdsur une variété complexe compacteXde dimensionn, soientaetudes poids positifs décroissants tels queh(a) +h(u)≤d. Alors  n,q a−χ(u)l q >|u|, H(X,ΓE⊗(detE) ) = 0si l≥h(a) +u 1 .

On a désigné parχla permutationχ(i) =d+ 1−i, de sorte queaet−χ(u) sont respectivement les parties positives et négatives du poidsa−χ(uprécédent). L’énoncé englobe à la fois le théorème de Griffiths et le théorème (4) de Le Potier. On obtient également, pouru= 0, une partie de la conjecture de Demailly:

Théorème(Th 2.1.1)Sous les mêmes hypothèses, et sip≥n−20,  p,q a l p+q > n, H(X,ΓE⊗(detE) ) = 0si l≥h(a) +n−p.

5.

Dans la dernière partie, on s’est attaché à prolonger certains travaux d’Ohsawa, util isant des techniques d’analyse ”à la Hormander” qui permettent d’aboutir à des résultats que les théorèmes d’annulation, du genre de ceux dont il vient d’être question, semblent impuissants à établir. En l’occurrence, on s’intéresse au problème de l’extension à une variété de Stein, ou à une variété projective, des sections d’un fibré en droites définies sur une sousvariété qui soit le lieu des zéros d’une section holomorphe d’un fibré vectoriel. On obtient par exemple le théorème d’existence suivant:

Théorème(Th 1.1.1, troisième partie)SoitXune variété projective,Eun fibré holo morphe de rangdsur cette variété, etsune section globale deEgénériquement trans −1 verse à la section nulle. SoitY=s(0), soitLun fibré en droites surXtel que le fibré ∗ ∗ O E (d)⊗π(L⊗K)soit ample sur la variétéIP(E)des droites du fibréE. ∗ X 0 0 Alors le morphisme de restrictionH(X, L)−→H(Y, L)est surjectif.

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