Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Coniques
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

Sujets

DÉﬁnition par excentricitÉ, foyer et directrice 1.1 L’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equation rÉduite . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 ParamÉtrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Equation rÉduite . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 ParamÉtrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Equation rÉduite . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 ParamÉtrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equations polaires

DÉﬁnition bifocale

. . . . . . . . . . . . .

RÉduction des coniques 4.1 DÉﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 MÉthode de rÉduction d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DÉﬁnition par excentricitÉ, foyer et directrice

DÉﬁnitionSoientFun point,Dune droite ne passant pas parFete >0. On appelleconique d’excentricitÉe, de foyerFet de directrice associÉeDl’ensembleCdes points Mdu plan qui vÉriﬁent la relation: M F=e d(M,D)

•Sie <1,Cest uneellipse

•Sie= 1,Cest uneparabole

•Sie >1,Cest unehyperbole

1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6

8 8 9 10

Remarque M F •Une coniqueCpeut s’interprÉter comme la ligne de niveauede la fonctionM7→, oÙH M H dÉsigne le projetÉ orthogonal deMsurD.

•La droite contenantFet orthogonale ÀDs’appellel’axe focal.

•SihdÉsigne la distance entreFetD, on appelleparamÈtre de la conique, notÉp, le rÉeleh.

•On appellesommetde la coniqueCses Éventuelles intersections avec l’axe focal. On le noteraS 0 et ÉventuellementS.

PropriÉtÉOn suppose ici quee6= 1(la conique envisagÉe est donc soit une ellipse, soit une hyperbole). AlorsCpossÈdeun unique centre de symÉtrieappelÉ le centre deC

DÉmonstrationOn a que:Montrons l’existece d’un centre de symÉtrie. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M∈ C ⇔M F=e d(M,D)⇔x+y=e(x+h)⇔(1−e)x+y−2epx−p= 0⇔ 2 ep p 2 2 2 (1−e)(x−) +y= 2 2 1−e1−e ep ~ ~ On noteAle point de coordonnÉes(2,0)dans(F, i, j)travaille maintenant dans le repÈre. On 1−e ~ ~ centrÉ enAtel que, siM(x, y)dans(F, i, j), alorsM(X, Y)dans le nouveau repÈre. Les formules de changement de repÈre sont: ep X=x−;Y=y 2 1−e 2 2 2 2p Dans ce nouveau repÈre,Ca donc pour Équation cartÉsienne(1−e)X+Y=2montre que. On 1−e Aest un centre de symÉtrie deCen vÉriﬁant que le symÉtrique deM(X, Y)est Également un point deC.

1.1 L’ellipse 1.1.1 Equation rÉduite

ThÉorÈmeOn suppose ici quee <1, i.e.Cest une ellipse de centreA. 2 2 x y •Il existe deux rÉelsa, bvÉriﬁant0< b < apour lesquels l’Équation2+2= 1est appelÉe a b Équation rÉduitedeC.

•L’axe focal(AX)est appelÉgrand axe, Le rÉelaest appelÉdemi-grand axeetbdemi- petit axe

•La distancec=ea >0s’appelledistance focale

2 2 2c a •On posec=AF:c=a−eb , =etAS= a e •Le pointAest appelÉcentre de l’ellipse

0 •Les sommetsSetSont pour coordonnÉesS(−a,0)etS(a,0).

2 b •La distance entre le foyer et la directrice est:h= c

DÉmonstrationOn considÈre une ellipseEde directriceD, de foyerFet d’excentricitÉe <1. On considÈre un repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. Alors

2 2 2 M∈ E ⇔M F=e×d(M,D)

2 2 2 2 2 OrM F=x+yetd(M,D) = (x+h). On en dÉduit que

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x+y−e x−2e hx−e h= 0⇔(1−e)x+y−2e hx−e h= 0

2 On divise les deux membres par1−e6= 0:

2 2 2 2 2 2 2 2 y2hy e e h e hx e h 2 2 x+− −= 0⇔(x−=) + 2 2 2 2 2 2 2 1−e1−e1−e1−e1−e(1−e)

2 e h On fait maintenant un changement de repÈre, en prenant comme nouvelle origineA(2,0)et on 1−e noteXetYles coordonnÉes deMOn a donc:dans ce nouveau repÈre.

On pose alors

1.1.2

2 2 2 2 2 Y e h X Y 2 M∈ E ⇔X+ =⇔2 2+2 2= 1 2 2 2e he h 1−e(1−e) 2 2 2 2 (1−e) (1−e)

ParamÉtrisation

PropriÉtÉ ∀t∈R

eh p a= = 2 2 1−e1−e

p eh p 2 b=√=√=a1−ae < 2 2 1−e >0 1−e

2 2 x y SoitEl’ellipse d’Équation2+2= 1oÙ0< b < a. a b

x(t) =acost y(t) =bsint

On peut la paramÉtrer par:

DÉmonstrationEn eﬀet, x y x y 2 2 M∈ E ⇔) = 1( ) + ( ⇔ ∃t∈R/(,) = (cost,sint)⇔ ∃t∈R/(x, y) = (acost, bsint) a b a b

1.1.3

Tangentes

2 2 x y ThÉorÈmeSoitEune ellipse d’Équation2+2= 1oÙ 0 <b <a.SoitM0un point deE. a b tangente ÀEenM0a pour Équation: x0x yy0 + = 1 2 2 a b

DÉmonstrationSoitM0(x0, t0)correspondant au paramÈtret0, oÙx0=acost0ety0=bsint0. 0 0 ∀t∈R, x(t) =−asintety(t) =bcost. Ent=t0, le vecteur~u(−asint0, bcost0)dirige la tangente. Cette derniÈre a donc pour Équation(bcost0)x+ (asint0)y=c. OrM0appartient À cette tangente. En remplaÇant, on trouve alors que la tangente admet une Équation de la forme:

cost0xsint0y x0x y0y bcost0x+asint0y=ab⇔1+ = ⇔1+ = 2 2 a b a b

1.2 La parabole 1.2.1 Equation rÉduite

p ThÉorÈmeOn suppose ici quee= 1. NotonsA(−,0). 2 Dans le repÈre centrÉ enA, la paraboleCadmet une Équation diterÉduitedu type:

Aest appelÉ sonsommet

2 y= 2px

DÉmonstrationOn considÈre la paraboleCde directriceDet de foyerFse place dans un. On repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. SoitMun point de coordonnÉes(x, y). On a alors: h 2 2 2 2 2 2 M∈ C ⇔x+y= (x−h)⇔y−2xh−h= 0⇔y−2h(x= 0+ ) 2 Or ici, commee= 1,p=h. −p On fait donc un changement de repÈre en prenant comme nouvelle origine le pointtA(,0)on. Si 2 note(X, Y)le coordonnÉes deMdans le nouveau repÈre, on a les formules de changement de repÈre suivantes: p X=x+Y=y 2 2 L’Équation deCdans ce nouveau repÈre est donc bienY= 2pX.

1.2.2

ParamÉtrisation

PropriÉtÉ

2 SoitCla parabole d’Équationy−2px= 0peut la paramÉtrer par:. On ∀t∈R,

2 t x(t) = 2p

y(t) =t

RemarqueSous cette forme, on peut Étudier ses branches inﬁnies. Quandt→+∞, on a que y(t) 1 =→0. On en dÉduit que la parabole a des branches paraboliques selon(Ox), ce qui n’est guÈre x(t)t surpenant vu son nom.

1.2.3

Tangentes

2 ThÉorÈmeSoitCla parabole d’Équation rÉduitey−2px= 0etM0(x0, y0)un point deC. La tangente ÀCau pointM0a pour Équation:

y0y=p(x0+x)

2 t0t00 DÉmonstrationOn a queC= (x(t) =, y(t) =t). Ent=t0, x(t0) =, y(t0) = 1d’oÙ les 2p p t0 vecteurs(,1)et(t0, p)dirigent la tangente. p La tangente a pour Équation−px+y0y+c= 0. On cherchec. OrM0(x0, y0)appartient À la tangente. Par suite,c=−px0. La tangente s’Écrit donc:−px+y0y−px0= 0⇔y0y=p(x+x0).

1.3 Hyperboles 1.3.1 Equation rÉduite

ThÉorÈmeDans le repÈre centrÉ enA, centre de symÉtrie, ’hyperboleHde directriceD, de foyerFet d’ÉxentricitÉe >1admet uneÉquation rÉduitede la forme:

2 2 x y −= 1 2 2 a b La distancec=aeest appelÉedistance focale 2 b •p= a 2 2 2 •c=a+b

c •e= a 2 b •h= c 2 a •.La distance entre la directrice et le centre est c

DÉmonstrationOn considÈre une hyperboleHde directriceD, de foyerFet d’excentricitÉe >1. On considÈre un repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. On a que:

2 2 2 2 e h y e h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M∈ H ⇔x+y=e(x+h)⇔(1−e)x+y−2e xh=e h⇔(x−=) + 2 2 2 2 1−e1−e(1−e)

2 2 e h On fait maintenant le changement de repÈre suivant, on prenant comme nouvelle origineA(2,0). 1−e Si on noteM(X, Y)les coordonnÉes deMdans ce nouveau repÈre, on obtient donc comme Équation deh: 2 2 2 Y e h 2 X+ = 2 2 2 1−e(1−e)

En divisant par le second membre, on a alors le coeﬃcient deXest positif alors que celui deYest 2 nÉgatif (car1−e <0). On peut donc Écrire que:

2 2 2 2 2 2 2 (1−e)X1−e Y X Y M∈ H ↔1+ = ⇔ −= 1 2 2 2 2 2 2 e h e h a b √ eh eh 2 √ oÙa=2>0etb=2=a e−1. e−1 1−e

1.3.2

ParamÉtrisation

PropriÉtÉ

2 2 x y SoitHune ellipse d’Équation2−2= 1. On peut la paramÉtrer∀t∈Rpar: a b

x(t) =±a(t)

y(t) =bsh(t)

x y x2y2 DÉmonstrationSoitM(x, y)un point deH. et vÉriﬁent que( )−( ) = 1. Comme est a b a b y x bijective deRdans lui-mme, il existe donct∈Rtel quesh(t) =en dÉduit que. ON =±ch(t). b a

1.3.3

Tangentes

2 2 x y ThÉorÈmeSoitHune ellipse d’Équation2−2= 1. a b La tangente ÀHenM0a pour Équation: x0x y0y + = 1 2 2 a b

DÉmonstration

LaissÉe au soin du lecteur.

1.3.4 Asymptotes Contrairement À l’ellipse, l’hyperbole n’est pas bornÉe. On peut donc s’intÉresser À ses asymptotes.

2 2 x y PropriÉtÉSoitHune hyperbole d’Équation2−2= 1. a b x y Ses asymptotes sont les droites d’Équation±= 0. a b

DÉmonstrationPrenons la branche de "droite" paramÈtre parx(t) =a(t);y(t) =b(t). y(t)b En+∞, on a quex(t)→ ∞, y(t)→ ∞. Le rapporttendversb . De plus,y(t)−x(t)→0. On x(t)a a x y en dÉduit que la droite d’Équation−= 0est une asymptote oblique ÀH. a b x y En−∞, on trouve par la mme mÉthode que+ = 0est asymptote oblique ÀH. a b

DÉﬁnition-propriÉtÉAvec les mmes notations, √ • HestÉquilatÈre⇔ses asymptotes sont orthogonales⇔e =2

•dans ce cas, si on note(v~,u~,E)le repÈre orthonormal direct obtenu par une rotation d’angle 2 −π a des vecteurs de base; l’Équation deHdans ce nouveau repÈre estxy= 4 2

DÉmonstrationOn eﬀectue donc le changement de repÈre suivant: π π X= cos(−)x−sin( )y 4 4 π π Y= sin(−)x+ cos(−)y 4 4 Ce qui donne √ √ 2 2 X= (x+y) ;Y=−(x−y) 2 2 En replaÇant dans l’Équation d eh, on a bien ce que l’on veut.

Equations polaires

On cherche À dÉterminer l’Équation polaire d’une conique dans un repÈre dont l’origine On se place donc dans un repÈre d’origineF, et on considÈre une droiteDdÉﬁnie par polaire du type: h D:ρ=>, h 0 cos(θ−φ)

est unfoyer. une Équation

0h PropriÉtÉSoitDla droite d’Équation polaireρ=. cos(θ−φ) Un Équation polaire de la coniqueCde foyerF=O, de directriceDet d’excentricitÉeest:

eh p ρ= = 1 +ecos(θ−φ+) 1 ecos(θ−φ)

DÉmonstration Siφ= 0La droiteDest la droite d’Équationx=ha que:. On 2 2 2 2 M(x, y)∈ C ⇔(x+y) =e(x−h) Soit(r, θ)un systÈme de coordonnÉes polaires deM(x, y). On a alors que: 2 2 r= (ercosθ−p)⇔r=ercosθ−p ou r=−ercosθ+p On en dÉduit que: −p p r=ou r= 1−ecosθ1 +ecosθ Or(r, θ)et(−r, θ+π)sont des systÈmes de coordonnÉes polaires du mme point. On en dÉduit que la conique est donnÉe par: p r= 1 +ecosθ Cas gÉnÉralIl s’obtient en faisant tourner le repÈre. 7