Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

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Barycentre
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première SSI

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Extrait

BARYCENTRE

1°SSI-2010-2011

Mr KDOUH Afif

BRYCENTRE I.1 Barycentre de deux points pondérés Définition 1     A est un point et a est un réel . le couple ( A ; a ) est appelé point pondéré. On appelle  barycentre de deux points pondérés ( A ; a ) et ( B ; b ) avec a# b ¹ 0 . le point G tel que : a GA # b GB 1 0 . On notera ceci  G 1 Bar A ; a ; B ; b Démonstration uuuuuu a GA # b GB 1 0 Û a GA # b ( GA # AB ) 1 0 , soit ( a# b ) GA # b AB 1 0 , c’est-à-dire AG 1 a# b b AB car a# b ¹ 0 .Le réel a# b b et les points A et B sont donnés , donc il existe un unique point G vérifiant uuuuuu AG 1 # b b AB .ce qui prouve l’existence et l’unicité de G. a  Propriété 1    (homogénéité du barycentre) Soit G 1 Bar A ; a ; B ; b avec A , B deux points du plan et a# b ¹ 0 , alors pour tout réel k ¹ 0 , on a  G 1 Bar A ; k a ; B ; k b 1 Bar A ; a ; B ; b . Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul. Exemple 1 Soit G le barycentre des points A ;3 / 4 et A ; % 1/ 2 alors : G est le barycentre des points (A, 3) et (B,−2) ; G est le barycentre des points (A,−300) et (B, 200).On se place dans le plan muni d’un repère ( O ; i , j ) . Théorème (égalité de réduction) Soit G 1 Bar A ; a ; B ; b , avec A , B deux points du plan et a# b ¹ 0 . Alors pour tout point   M ∈   P, on a alors a MA # b MB 1 a# b MG .. Démonstration   D’après la relation de Chasles, MA 1 MG # GA et MB 1 MG # GB . Alors a MA # b MB 1 a MG # GA # b MG # GB Û a# b MG # a GA # b GB 1 a# b MG . G 1 Bar A ; a ; B ; b donc a GA # b GB 1 0 , donc a MA # b MB 1 a# b MG uuuuuuuuuu MG 1 a MA # b MB a # b a # b (localisation du barycentre) Soit G 1 Bar A ; a ; B ; b ,avec A , B deux points du plan et a# b ¹ 0 . uuuuuuuuuuuu AG 1 b AB Alors a# b  et  BG 1 a a #b BA . En remplaçant M par A ou par B ,on reconnaît les formules permettant de calculer les vecteurs AG ou BG .

Exemple 2  Soit [AB] un segment, construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2)  Le point G vérifie : 3 GA # 2 GB 1 0 Û 3 GA # 2( GA # AB ) 1 0 . Grâce à la relation de Chasles,  on obtient : (5) GA # 2 AB 1 0 . AG 1 2 / 5 AB Remarque 1 • Physiquement, G est le point d’équilibre de la balance [AB] munie des masses a et b • Mathématiquement, la notion est étendre à des coefficients qui peuvent être négatifs • En mécanique, le barycentre peut aussi s’appeler le centre d’inertie, le centre de gravité …….. # ¹  Pour toute la suite, on se place dans le cas où a b 0 cas particuliers : Si a1 b , G s’appelle l’isobarycentre du système : c’est le milieu du segment [AB] • • Si a1 0 et b ¹ 0 ,on a : b GB 1 0 d’où GB 1 0 et G = B • Si β = 0 et a¹ 0 ,on a b GA 1 0 d’où G = A Propriété 2 © Le barycentre de deux points ( A ; a ) et ( B ; b ) avec a# b ¹ 0 , appartient à la droite (AB)

a 0 © Soient A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B )  et G ( x G ; y G ) tel que G soit barycentre de ( A ; a ) et ( B ; b ) avec # b ¹ a x A x B et y G 1 a y A # b y B . G a pour coordonnées : x G 1 a # # b ba#b  Description d’une droite en termes de barycentres    ( position du barycentre ) Théorème (droites et segments)  Soient A et B deux points distincts . Soit  G 1 Bar A ; a ; B ; b , avec a# b ¹ 0 et A ¹ B . Alors : • La droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B et G Î AB • Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres de A et B a ff ectés de poids positifs.  Si les coefficients sont de même signe on a 0 σ a b #b σ 1 donc G appartient au segment [AB]. • G Ï AB   si et seulement si a´ b0 0 . • G 1 A Û b1 0 et G 1 B Û a 1 0 .   • G est plus proche de A si et seulement si a 2 b    a GA = -b   GB d'où GA = GB donc si ; GA est plus petit que GB ;G est plus près de A.  Remarque     :   Position du barycentre  De la colinéarité des vecteurs AG et AB on peut déduire que A, B et G sont alignés.    le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB). Il est sur le segment [AB] si les  coefficients sont de même signe, au milieu si les coefficients sont égaux.   Propriété : M, A et B sont alignés équivaut que M est un barycentre de A et B  (c’est à dire qu’il existe des réels a et b avec a# b ¹ 0 tels que M soit le barycentre de A , a et B , b .  Autrement dit, la droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B. Pratique : 1. Pour monter que trois points sont alignés, il suffit de montrer que l’un est le barycentre des deux  autres (pour des coefficients à déterminer.) 2.Description d’une droite en termes de barycentres :  La droite (AB) étant l’ensemble des barycentres de A et B, on peut donc décrire la droite (AB) comme  l’ensemble des barycentres de A , a et B ,1 %a lorsque a décrit R .  Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres de A , a et B ,1 %a lorsque a décrit l’intervalle [0;1] . Démonstration On sait que tout barycentre de A et B appartient à (AB). Réciproquement, soit M ∈ (AB) : il existe k Î R tel que AM 1 k AB 1 k AM % k BM Û 1 % k AM # k BM 1 0 :   ceci signifie que M 1 Bar A ;1 % k ; B ; k . Lorsque M Î [ AB ] , on a  k Î [0;1] ce  qui permet d’établir le second point. Problème réciproque Exprimer un point comme barycentre de deux autres : B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C, A barycentre de (B, 2) et (C, % 1) : 2 AB = AC . C barycentre de (A, 1) et (B, % 2) : 2CB = CA . B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) : 2 AB = BC . , A barycentre de (B, 3) et (C, % 1) : 3 AB = AC . C barycentre de (A, 2) et (B , % 3) : 3CB = 2CA 2 Barycentres de trois points Théorème (Existence et unicité du barycentre)  Soient A , B , C trois points du plan et a , b , Χ   trois réels tels que a# b# Χ ¹ 0 . • Il existe un unique point G du plan tel que a GA # b GB # Χ GC 1 0 . • On dit alors que G est le barycentre des points pondérés ( A ; a ) , ( B ; b ) et ( C ; Χ ) . • On notera ceci  G 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) . Démonstration  uuuuuuuuu a GA # b GB # Χ GC 1 0 Û ( a# b# Χ ) GA # b AB # Χ GC 1 0 , soit AG 1 a# b b#Χ AB # a# Χ b#Χ AC .

uuuuuuuuu Or il existe un unique point G vérifiant AG 1 a# b b#Χ AB # a# Χ b#Χ AC . uuuuuu AB ' 1 b AB  ; AC ' Χ AC ; AS 1 AB ' # AC ' 1 a AB # b AC  donc AG 1 a# 1 b # Χ AS . 1 Exemple S C' G =Bar{ (A,3),(B,-1);(C,2)}

+ AG = (1/4) AS C AG = ( -1/4) AB (1/2) AC G

B' A  B                            Cas particulier Si a1 b 1 Χ le barycentre G de trois points ( A ; a ) , ( B ; a ) et ( C ; a ) est l’isobarycentre de trois points A , B , C . L’isobarycentre du triangle ABC est son centre de gravité . C G=Bar{ (A,1);(B,1);(C,1)} J I G B

Exemples 1. Centre de gravité d’un triangle Soit G l’isobarycentre des sommets d’un triangle ABC. En prenant a = b = Χ = 1 on a : GA # GB # GC 1 0 . Si A' est le milieu de [BC] on a : GB # GC 1 2 GI  donc GA # 2 GI 1 0 . G est donc le barycentre de  ( A ,1) et ( I ,2) . G appartient à la médiane [AI] et est au 3 2 de cette médiane.

A

  C

A Exemple 2. Trouver le point G barycentre de (A,2) ; (B,1) et (C,1) : Choisir A comme origine des vecteurs  4 AG 1 AB # AC 1 2 AI   uuuuu où I est le milieu de [BC]. AG 1 1 2 AI = : G est le milieu de [AI]. Calcul vectoriel :   2 GA # GB # GC 1 0 Û 2 GA # 2 GI 1 0

G

K

I

B

D

Homogénéité du barycentre  Soient A , B et C trois points du plan et a , b , Χ   trois réels tels que a# b#Χ ¹ 0 .  Pour tout réel k ¹ 0 , on a  G 1 Bar ( A ; k a ); ( B ; k b ); ( C ; k Χ ) 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) .  Le barycentre de trois points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un même  nombre non nul. Théorème :   On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tous les  coefficients par le même réel non nul. Théorème ( égalité de réduction)  Soit  G 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) , avec A , B , C trois points du plan et a# b#Χ ¹ 0 . uuuuuuuuuuuuuu  Pour tout point M ∈   P, on a alors MG 1 a a bΧ MA # a b bΧ MA # a Χ bΧ MC . # # # # # # Démonstration : G est le barycentre des points ( A ; a ) , ( B ; b ) et ( C ; a ) avec a# b#Χ ¹ 0 ,donc,  on a : a GA # b GB # Χ GC 1 0 on utilise la relation de Chasles : a ( GM # MA ) # b ( GM # MA ) # Χ ( GM # MC ) 1 0 a GA # b GB # Χ GC 1 0 soit a ( GM # MA ) # b ( GM # MA ) # Χ ( GM # MC ) 1 0 uuuuuuuuuuuuuu a ( a# b# Χ ) GM #a MA # b MA # Χ MC 1 0 d’où MG 1 a#b#Χ MA # a# b b#Χ MA # a# Χ b#Χ MC (localisation du barycentre)  Soit  G 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) , avec A , B , C trois points du plan et a# b#Χ ¹ 0 . uuuruuuruuur       1 #     BG 1 a BA #Χ BC  ; CG 1 a CA #Χ CB Alors AG b a A # B b Χ # A Χ C  ; a# b#Χ a# b# Χ  Propriété 2     : coordonnées du barycentre   Soient A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C ( x C ; y C ) et G ( x G ; y G ) tel que G soit barycentre de ( A ; a ) , ( B ; b ) et ( C ; Χ ) y a b Χ y avec a# b#Χ ¹ 0 .  G a pour coordonnées : x G 1 a x A a # # b b x B # # Χ Χ x C et G 1 y A a # #b y B # # Χ C . 2.2 Associativité des barycentres Théorème  Soient A , B , C trois points du plan et a , b , Χ trois réels tels que a# b#Χ ¹ 0 et a# b ¹ 0 .  On note  H 1 Bar A ; a ; B ; b le barycentre partiel des points A et B . Alors  G 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) 1 Bar ( H ; a# b ); ( C ; Χ ) . Démonstration  De a GA # b GB # Χ GC 1 0 , on obtient ( a# b ) GH #a HA # b HB # Χ GC 1 0 . Or A ' est le barycentre des points ( A ; a ) , ( B ; b ) avec a# b ¹ 0 donc a A ' A # b A ' B 1 0 et ( a# b ) GA ' # Χ GC 1 0 . G est donc le barycentre des points ( A '; a# b ) et ( C ; Χ ) .  Conclusion    : Si b # Χ ¹ 0 , alors  A ' 1 Bar ( B ; b ); ( C ; Χ ) est  le barycentre partiel, alors G 1 Bar ( A '; b # Χ ); ( A ; a ) . Si a # Χ ¹ 0 , alors  B ' 1 Bar ( A ; a ); ( C ; Χ ) est  le barycentre partiel , alors G 1 Bar ( B '; a # Χ ); ( B ; b )  . 0 Si a # b ¹ , alors C ' 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ) est  le barycentre partiel , alors G 1 Bar ( C '; a # b ); ( C ; Χ )  . AA ' B ' Lorsqu'elles existent les droites , B et CC ' sont  concourantes en G . Exemple Cas particulier ( centre de gravité d’un triangle. De GA # GB # GC 1 0 , on obtient : A ' 1 Bar ( B ;1); ( C ;1) est  le barycentre partiel donc G 1 Bar ( A '; 2); ( A ;1) soit  uuuuuuuuuuuuuuuuuu 2 GA ' # GA 1 0 Û 3 GA # 2 AA ' 1 0 Û AG 1 2 AA '   3 B ' 1 Bar ( A ;1); ( C ;1) est  le barycentre partiel , alors G 1 Bar ( B '; 2); ( B ;1)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuu 2 GB ' # GB 1 0 Û 3 GB # 2 BB ' 1 0 Û BG 1 2 BB ' 3 C ' 1 Bar ( A ;1); ( B ;1) est  le barycentre partiel , alors G 1 Bar ( C '; 2); ( C ;1) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 2 GC ' # GC 1 0 Û 3 GC # 2 CC ' 1 0 Û CG 1 2 CC ' 3 2.3 Triangles et Barycentres Propriété Soit G 1 Bar ( A ; a ); ( B ; b ); ( C ; Χ ) ,avec a# b#Χ ¹ 0 et A , B , C non alignés. Alors : • G est à l’intérieur du triangle ABC si et seulement si α , β et γ sont de même signe. • Plus généralement, l’intérieur du triangle ABC est l’ensemble des barycentres de A , B et C a ff ectés  de poids de positifs. e) Problème réciproque : exprimer un point comme barycentre de trois autres. Exercice 1 : ABCD est un parallélogramme C I

A

O

B

Écrire D comme barycentre de A, B et C : Méthode 1 : somme vectorielle : DB 1 DA # DC   on en déduit que DA % DB # DC 1 0 D est le barycentre de (A, 1) ; (B,-1) et (C, 1). Méthode 2 : associativité : O centre du parallélogramme  2 DO 1 DB ; 2 DO % DB 1 0 . Donc D 1 Bar ( O ; 2); ( B ; % 1) ; O est l’isobarycentre de (A,1) et (C,1) et le théorème des milieux :  2 DO 1 DA # DC . Donc DA # DC % DB 1 0 Exercice 2 : ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de [CD]  Écrire I comme barycentre de A, B et C. Solution I est le barycentre de (A, α) ; (B, β) et (C, γ) avec, par exemple, α = 1, β = -1, γ = 2. Méthode 1 : associativité : I est l’isobarycentre de C et D donc IC # ID 1 0 . Comme D 1 Bar ( A ;1); ( B ; % 1); C ;1 on  a : ID 1 IA % IB # IC Û % IC 1 IA % IB # IC Û IA % IB # 2 IC 1 0 ,I est le barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C ,2). Méthode 2 : calcul vectoriel  :  2 IC 1 CD 1 AB 1 AI # IB  soit IA % IB # 2 IC . 5) Problème d’alignement P

A

C Q

R

B

Exercice 1. uuuuuu Soit ABC un triangle, P le symétrique de B par rapport à C, Q le point défini par CQ 1 1 3 CA et R le milieu de [AB]. Prouver que P, Q et R sont alignés. Il suffit de montrer que, Q est le barycentre de P et R : P est le barycentre de (B,-1) et (C,2) donc en utilisant la relation de calcul du barycentre à partir du point Q on a QP 1 % QB # 2 QC . R est l'isobarycentre de (A, 1) et (B, 1) et d'après la formule de la médiane du triangle QAB on a : 2 QR 1 QA # QB . Or Q est le barycentre de (A,1) et (C,2) : QA # 2 QC 1 0 . En ajoutant membre à membre les deux premières égalités vectorielles on obtient cette troisième égalité vectorielle : QP # 2 QR 1 QA # 2 QC 1 0 . Donc, Q est le barycentre de (P,1) et (R,2) ; P, Q et R sont alignés et PQ 1 2 QR . Exercice 2.

C

L J I

A K B Soit un triangle ABC ; I, J et K les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB], L est le milieu de [JC] et M le symétrique de K par rapport à B. a) Écrire L comme barycentre et calculer  4 IL . b) Écrire M comme barycentre et calculer  2 IM . c) Écrire I comme barycentre. Conclure à l’alignement de I, L et M. Solution : a) L est le barycentre de (A, 1) et (C, 3) d’où  4 IL 1 IA # 3 IC . b) M est le barycentre de (A,-1) et (B, 3) d’où  2 IM 1 % IA # 3 IB . c) En ajoutant membre à membres les deux égalités précédentes on a : 4 IL # 2 IM 1 IA # 3 IC % IA # 3 IB 1 3 IC # IB 1 0 , puisque  IC # IB 1 0 car I est le milieu [BC]. donc 2 2 IL # IM 1 0 ;  I est le barycentre de (L,2) et (M,1). I, L et M sont alignés et  2 LI 1 IM 2.4. Barycentre de quatre points a) Extension des définitions     Si a # b # Χ # ≅ ¹ 0 ; le point G défini par a GA + b GB + Χ GC + ≅ GD = 0 est le barycentre des points  pondérés (A, a ) ; (B, b ) ; (C, Χ ) et (D, ≅ ).  Fonctio  n vectorielle de Leibniz    : pour tout point M on a a MA + b MB + Χ   MC #≅   MD = ( a # b # Χ # ≅ ) MG  .   MG = a #  a MA + b #≅ + Χ MC # a#b ≅ #Χ#≅ MD   b # Χ # Χ a # b # Χ MB a # b # Χ # ≅ 2.5. Barycentres de n points  Ce qui a été vu précédemment se généralise de même à n ³ 3 points  pondérés : On appelle barycentre des points pondérés A 1 ; a 1 , A 2 ; a 2 , A 3 ; a 3 . . . et A n ; a n , avec   a 1 #a 2 #a 3 # .......... #a p # ........ #a n % 1 #a n ¹ 0 , l’unique point G du plan tel  que a 1 GA 1 #a 2 GA 2 #a 3 GA 3 # ............ #a p GA p # ......... #a n GA n 1 0 On retrouve aussi l’homogénéité du barycentre, l’égalité de réduction et ses corollaires.

M

Enfin et surtout, l’associativité du barycentre reste valable, ce qui est très pratique pour construire les barycentres et les employer dans des problèmes de géométrie. Définition :      A 1 , A 2 , …, A n sont n points du plan ou de l’espace a 1 , a 2 , a 3 ,......... a p ,...... a n sont n réels et n  m est la masse du système de points : m = i 1 S 1 a i . n uuuur   S a MA i est un  Si m = 0, i 1 1 i vecteur indépendant de M . n uuuurr ¹   0, il existe un unique point G : S a MA 1 0 . G  Si m  tel que i 1 1 i i est le barycentre des A i , a i . Propriétés : n uuuuruuuur  Pour tout point M, i 1 S 1 a i MA i 1 mMG . Si G est le barycentre des A i , a i et si k ¹ 0 ,  alors G est aussi  le barycentre des ( A i , k a i ) .  Associativité    :    si G 1 est le barycentre de (A 1 , a 1 ), (A 2 , a 2 ), …, (A p , a p ), avec a 1 # a 2 # a 3 # ......... a p ¹ 0  alors G est le barycentre de G 1 , a 1 # a 2 # a 3 # ......... a p , (A p + 1 , a p + 1 ), …, ( A n , a n ).  Si A i a pour coordonnées ( x i , y i , z i ) dans un repère, alors G a pour coordonnées :  x G 1 1 S a i x i           y G 1 1 S a i y i        z G 1 1 S a i z i     m m m Théorème (conservation du barycentre)  Soit f une symétrie, une translation, une rotation ou une homothétie. a  On considère n points pondérés  A 1 ; a 1 , A 2 ; a 2 , A 3 ; a 3 . . . et A n ; n , # # # # # # # ¹                                                           a 1 a 2 a 3 .......... a p ........ a n 1 a n 0 . %  Si  G 1 Bar A 1 ; a 1 ; A 2 ; a 2 ; A 3 ; a 3 ;........; A n ; a n , alors  f G 1 Bar f A 1 ; a 1 ; f A 2 ; a 2 ; f A 3 ; a 3 ;........; f A n ; a n

Applications  Exemple 1    ( Un problème d’alignement)  Soit A, B et C trois points non-alignés . On note J le barycentre des points pondérés B ,1 et  (C; 2), et on note G le barycentre des points pondérés A , % 4 ,  B ,1  et  C , 2  . 1. Justifier l’existence des points J et G. 2. Démontrer que les points A, J et G sont alignés. Solution : 1. Le point J est défini car la somme des coefficients des points pondérés vaut 1 # 2 1 3 ¹ 0 .  De même la somme des coefficients des points pond´er´es définissant G vaut % 4 # 1 # 2 1 % 1 ¹ 0 . 2. G est le barycentre des points pondérés A , % 4 ,  B ,1 et  C , 2  . Donc d’après la propriété  d’associativité du barycentre, G est aussi le barycentre de A , % 4 et  (J; 1 + 2). Donc, d’après  la remarque , le point G appartient `a la droite (AJ). Ainsi, les points G, A et J sont alignés.  Exemple 2    (Un problème de droites concourantes)   Soit ABC un triangle. On considère les points I, J et K définis par : uuuuu  I est le milieu de [AB] ; JC 1 2 3 JA  et BK 1 3 BC . 1. Faire une figure. 2. a. Déterminer des coefficients a et b pour que I soit le barycentre de A , a et B , b . b. Déterminer des coefficients Χ et ≅ pour que J soit le barycentre de C , Χ et A , ≅ . c. Déterminer des coefficients Δ et m pour que K soit le barycentre de B , Δ et C , m .