Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

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valeurs propres

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TH0 : en dimension finie, si la matrice de u est triangulaire supérieure, alors les valeursRombaldi A&I propres sont les éléments diagonaux.polynômes orthogonaux Pb : chercher une solution polynomiale de l'équadif ay''+by'+cy=0 sur R où a, b et c sont desvecteurs propres d'un polynômes de degrés 2, 1 et 0 respectivement.opérateur différentiel. TH1 : en dimension finie, le déterminant d'une matrice égale le produit des valeurs propres. Pb 1 : CS pour qu'une matrice soit inversible.Merlin algèbre] Avec Gerschgorin et Hadamard, tu montres que les matrices à diagonale strictementréduction théorique dominante sont inversibles.thème 7 TH2 : Si P∈ ℝ [X] et quelest une vp de u, alors P(l) est une vp de P(u). Pb 2 : CS pour l'existence d'un point fixe à une application affine.[Liret] -1 Si 1 n'est pas vp de A alors l'application X->AX+B admet un ! point fixe : W=(I-A)B evet applications linéaires itérations linéaires corolaire (premier point) Remarque : si E est de dimension finie, alors le nombre de valeurs propres est <n+1.[Rombaldi] Application : si uv-vu = u alors u et v ont un vecteur propre commun.Analyse Matricielle. Contrexemple en dimension infinie : la dérivation sur les fcts D1Polynômes minimal, caractéristique... [Hauchecorne] m( l! TH3 et DEF : pour toute vpl, note m(l) sa multiplicité. Le sous espace ker(u-lId) [Rombaldi] Analyse Matricielle est stable par u et s'appelle un sous espace caractéristique de u. En outre, lorsque u Sous espaces est scindé, la famille de ces espaces est en somme directe dans E. CSQ : caractéristiques. décomposition de Dunford. Pb 3 : CS pour que la suite des puissances ->0.[Liret] p Si toutes les vp de A sont de module < 1 alorsA ->0. evet applications Application : si toutes les vp de A sont de module <1 alors la suite (X 0 , X p+1 =A.X p +B) admetlinéaires une limite : le point fixe de l'application affine X->AX+B.itérations linéaires proposition Pb 4 : Trouver la limite des puissances dans un cas particulier du spectre.[Liret] Les matrices de transition ont 1 pour vp. Lorsque 1 est simple et que la matrice estev et applications diagonalisable, alors la limite des puissances est la matrice dont les colonnes sont 1/s V où Vlinéaires est un VP pour 1 et s est la somme des coordonnées de V.transitions probabilistes Pb 5 : quelques propriétés autour de l'exponentielle <- DEVELOPPEMENT[Merlin Algèbre] 1° Spectre de l'exponentielle : tu utilises la définition.Exponentielle matricielle 2° Décomposition D+N de l'exponentielle : tu utilises la caractérisation des nilpotentes par la valeur propre nulle et le th sur le spectre des polynômes en u. 3° CNS pour que exp(tA)-> 0 lorsque t-> ∞ . Tu utilises la décomposition de Jordan qui est aussi une conséquence du th et def ci-dessus. TH4 : les endomorphismes symétriques réels sont diagonalisables en BON. Pb6 : étudier des quadriques du point de vue euclidien.[Paugam] Ce théorème permet aussi de réduire les quadriques, comme on faisait déjà avec la réductionApplications en de Gauss. Le théorème d'inertie de Sylvester assure que tu vas trouver la même signature etgéométrie donc le même genre de quadrique. Le point supplémentaire apporté par la décomposition par valeurs propres est l'obtention d'informations euclidiennes. Exemples Comparer les réductions de Gauss et par valeurs propres pour les quadriques suivantes : –x²+2xy+3y² = 1 –2(xy+yz+zx)=1 Pb7 : extremum d'une fct C2 de 2 variables en certains points critiques.[D-J M] Endomorphismes r s La différentielle seconde est une forme quadratique de matriceet dont tu symétriques   s t Extremum d'une fct C2 caractérises le signe avec ceux de rt-s² et r. de deux variables. C'EST LA PREUVE QUI UTILISE LES VALEURS PROPRES