Cours-FI-IV

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Extrait

Chapitre 4
Mathematiques nanci eres
4.1 Petit dictionnaire nancier
4.1.1 Activite des marches
Un marche nancier est represente par l’evolution d’un certain nombre d’actifs. Ces actifs
sont parfois appeles des titres, ou des actions. L’evolution temporelle du prix d’une part d’un
titre est represente par la donnee d’une cha^ ne de Markov (S ) . Dans ces notes, nous nek 0kn
considererons que des evolutions discretes. L’unite de temps peut correspondre a une annee,
un mois, une heure, une seconde, ou encore a la cl^ oture de la bourse chaque jour a 17 heures.
1A n de simpli er l’expose, nous n’examinerons que des marches a deux titres (S ) , et0knk
2(S ) :0knk
1Le premier actif S , joue un r^ole bien particulier. Il represente le cours d’un titre non risque,k
tel un livret de caisse d’epargne, un bon du tresor a taux xe ou previsible, ou encore une
obligation. Les obligations sont des dettes d’entreprises remunerees a taux xe, et convertibles
2en actions, en cas de croissance. Le second actif S joue lui aussi un r^ole bien particulier. Ilk
represente le cours d’une part d’un titre risque, tel les actions de compagnie privees cotees en
bourse.
Le parametre n joue le r^ole d’un horizon temporel, et terminal x e, souvent appele horizon
du marche. Dans l’etude qui suit, il represente a la fois, le temps d’observation du marche, ainsi
que la date d’echeance des activites economiques considerees.
Nous representerons l’evolution aleatoire des actifs par le couple d’equations

i i iS = S U avec 1 k nk k 1 k
i = 1; 2
i iet les conditions initiales S , i = 1; 2, Les processus aleatoires (U ) , i = 1; 2,0kn0 k
representent les rendements des titres pendant une unite de temps.
Nous conviendrons pour simpli er, que ces rendements sont discrets, en ce sens ou les v.a.
iU sont a valeurs dans des espaces nis. Cette hypothese est assez realiste car les processusk
117 118 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
ide prix S correspondent a des informations bancaires, ou a des cotations boursieres, toujoursk
donnees avec un nombre ni de chi res apres la virgule.
L’information dont dispose un investisseur au temps k est modelisee par la donnee
d’une algebre nie F , c’est a dire engendree par une partition nie d’un ensemble nik
1 2d’aleas . On conviendra que F =f;;
g, pour souligner que les prix (S ; S ) des0 0 0
titres a la date initiale sont connus. On conviendra en n que l’investisseur possede de
plus en plus d’information au cours du temps. Plus formellement, on supposera que
(F ) est une ltration croissante d’algebres sur
k 0kn
F F : : :F F =P( )0 1 n 1 n
L’algebre terminale contenant toute l’information sur les evolution des prix jusqu’ a
l’echeance, co ncide avec l’algebre engendree par les singletons f!g de tous les
evenements elementaires de . Autrement dit, les investisseurs ont de plus en plus
d’information, et a la date d’echeance n, ils peuvent determiner avec certitude la
succession des alea qui se sont produits.
Le choix de l’espace probabilise ltr e ( ; (F ) ;P) est loin d’^etre unique. Neanmoins,k 0kn
2 2comme les cours des actions (S ; : : : ; S ) sont connus au temps k, on doit avoir0 k
2 2F (S ; : : : ; S )k 0 k
D’autre part, puisque l’investisseur peut prevoir l’evolution de l’actif sans risque a chaque
1date k, les taux d’inter^ets instantanes U de ces actifs sont previsiblesk
1U 2Fk 1k
1Autrement dit, a la date k, l’investisseur conna^ t U . Ceci se traduit mathematiquement par lek
1fait que la v.a. estF mesurable, ce que l’on note U 2F .k 1 k 1k
Il en est tout autrement de l’evolution du cours de l’actif risque. Au temps (k 1),
2l’investisseur ne conna^ t pas U . Il doit attendre la prochaine cotation au k. Plusk
formellement, nous avons
2U 2Fkk
1 2Par construction, le processus de prix (S ; S ) est une cha^ ne de Markov discrete, et0knk k
iadaptee a la ltration (F ) . On conviendra que les prix des actifs S sont des v.a.k 0kn k
strictement positives.
1L’actif S etant sans risque, il est naturel de considerer quen
181 k n U 0k
Cette hypothese conduit a une evolution favorable du titre non risque
1 1 1 1S = (1 + U ) S Sk k k 1 k 14.1. PETIT DICTIONNAIRE FINANCIER 119
Pour simpli er l’analyse du marche, et sans perdre de generalite, nous supposerons
1que S = 1. La valeur de l’actif sans risque au temps k est alors donnee par la formule0
produit
k kY X
1 1 1 1 1S = (1 + U ) = E (U ) avec U = Udef. kk l k l
l=1 l=1
1Ainsi par exemple, un investissement initial de S = 1 Euro dans l’actif sans risque permet0
1 1de disposer de S =E (U ) Euros, apres k unites de temps. Lorsque le taux d’inter^et par unitekk
de temps est constant, et deterministe
1U = rk
cet investissement sans risque rapporte
1 1 kS =E (U ) = (1 + r) Euroskk
Ce gain peut aussi s’interpreter comme une depreciation monetaire de l’euro par rapport a une
autre monnaie de reference plus forte. Le coe cien t
1
= ( 1)k 1E (U )k
correspond alors a la valeur d’un euro dans cette monnaie.
iLe prix reactualise d’une action S est alors de ni par la quantitek
i i 1 1 iS = S =E (U ) Sk kk k k
1
On notera que la valeur de l’actif sans risque reactualises S = 1 peut s’interpreter comme unek
unite monetaire de reference. On remarque aussi que le prix reactualise de l’actif risque, calcule
dans cette monnaie de reference et plus forte, est toujours inferieur au prix courant
2 1 1 2 2S =E (U ) S Skk k k
Pour conclure, notons que l’actif sans risque peut aussi ^etre interprete comme la
1 1remuneration d’un pr^et nancier. Dans ce contexte, S = 1 Euro pr^ete, rapportera S Euros a0 k
son investisseur, apres k unites de temps. Ainsi, un investisseur proposant un pr^et de 100:000
Euros, avec un taux d’inter^et xe de R = 4% par an, s’assure une remuneration de 4:000
Euros dans l’annee. Pour estimer le rendement quotidien r, dans un marche journalier, on doit
resoudre l’equation
1365 4
365(1 + r) = 1 + R = 1; 04 =) r = 1; 04 1’ 1; 0746 10 120 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
Les 100:000 Euros rapportent ainsi
4100:000 1; 0746 10 = 10; 746 Euros
par jour, et dans l’annee
365100:000 (1 + r) = 100:000 (1 + R) = 100:000 + 4:000 = 104:000 Euros
Exercice 4.1.1 On considere le modele de marche suivant
1 2 1 2
S = (S ; S ) S = (S ; S )0 10 0 1 1
1! (1; 4) (1; 05; 5)
2! (1; 4) (1; 05; 10)
1. Construire l’arbre des epreuves representant l’evolution de ce marche nancier.
2. On noteF = (S ), etF = (S ; S ) les algebres representant l’information disponible0 0 1 0 1
a l’origine, et au temps 1. Montrer que
1 2F =f;;
g et F =f;;
;f! g;f! gg =P( )0 1
1S13. Calculer le taux d’inter^et r = de l’actif sans risque.1S0
Exercice 4.1.2 Resoudre les m^emes questions que celles posees dans l’exercice 4.1.1 pour le
modele de marche nancier suivant
1 2 1 2 1 2
S = (S ; S ) S = (S ; S ) S = (S ; S )0 1 20 0 1 1 2 2
1! (1; 5) (1; 05; 10) (1; 10; 20)
2! (1; 5) (1; 05; 5) (1; 10; 10)
3! (1; 5) (1; 05; 5) (1; 10; 5)
4.1.2 Gestion de portefeuilles
Le portefeuille d’un investisseur possede a chaque instant k un certain nombre de
1 2parts du titre non risque, et un nombre de parts du titre risque. La valeur dek k
ce portefeuille au temps k est ainsi donne par
1 1 2 2V ( ) = S + Sk k k k k
i i 1Contrairement aux valeurs des titres S , les v.a. peuvent ^etre negatives. Si est negatif,k k k
1cela signi e qu’il y a eu vente a decouvert de ( ) parts du titre non risque. Vendre a decouvertk
signi e dans le jargon nancier que l’on vend des actions que l’on ne possede pas! On peut
1 1 1aussi interpreter le cas ou est negatif comme un emprunt, et une dette de ( S ) Euros.k k k
1Cette situation peut encore re eter la prise en pension, ou le rachat de ( ) parts de titresk
1 1non risques (au cout^ S ). Dans tous les cas, lorsque est negatif, on re coit une somme dek k
1 1( S ) Euros, a investir si possible sur des actifs risques pour rembourser la dette.k k4.1. PETIT DICTIONNAIRE FINANCIER 121
1 1Le cas ou est positif correspond plut^ ot a une vente de titres non risques, et a unk k
1 1gain de ( S ) Euros.k k
A titre illustratif, examinons les strategies de gestion de portefeuilles dans un marche
nancier sur deux periodes de temps. Tout d’abord, on remarquera que la valeur d’un
i iportefeuille initial forme de parts de titresx est donne par0 0
1 1 2 2 1 2 2V ( ) = S + S = + S0 0 0 0 0 0 0 0
Si V ( ) 0, on doit debourser V ( ) Euros pour son acquisition. Si au contraire V ( ) < 0,0 0 0
nous recevrons ( V ( )) Euros lors de son acquisition. L’investisseur reamenage son portefeuille0
i ien parts de titres S , de sorte a avoir1 0
1 1 2 2 1 1 2 2 S + S = V ( )(= S + S )01 0 1 0 0 0 0 0
Autrement dit, en liquidant le portefeuille initial V ( ), l’investisseur possede un montant de0
1 2V ( ) Euros pour acheter le p = ( ; ).0 1 1 1
1 2A l’instant suivant, les prix (S ; S ) sont annonces, et le portefeuille prend la valeur1 1
1 1 2 2V ( ) = S + S1 1 1 1 1
A cet instant l’investisseur peut pro ter de l’information qu’il a acquiseF = (S ; S ), pour1 0 1
modi er son portefeuille. Avec le montant obtenu lors de l’operation initiale V ( ), il reamenage1
1 2son portefeuille en = ( ; ), de sorte que2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 S + S = V ( )(= S + S )12 1 2 1 1 2 1 1
Comme precedemment, en liquidant V ( ), l’investisseur possede un montant V ( ) pour1 1
ache